Question

As bases de um trapézio mede, respectivamente, 32m e 20m, e a altura 6m. Traça-se uma paralela às bases que o divide em dois trapézios equivalentes. Calcular a distância da base menor à paralela traçada, bem como o segmento da paralela compreendido entre os lados não paralelos

Answer 1

$Ol\'a$

$Observe \ as \ imagens \ anexadas.$

$Primeiramente, \ vamos \ calcular \ as \ \'areas \ dos \ trap\'ezios \ azul \ e\\ amarelo, \ lembrando \ que \ se \ altura \ total \ vale \ 6 \ a \ altura \ de \ \overline{BG} = x \ e\\ a \ altura \ de \ \overline{GH}= 6-x$

$\'Area \ do \ trap\'ezio \ EBCF \ (Azul):$

$A= \dfrac{(B+b) \ . \ h}{2}$

$A\Rightarrow \'Area \ do \ trap\'ezio$
$B\Rightarrow Base \ maior$
$b\Rightarrow Base \ menor$
$h\Rightarrow Altura$

$\boxed{A= \dfrac{(20+EF) \ . \ X }{2}}$

$\'Area \ do \ trap\'ezio \ AEFD \ (Amarelo):$

$\boxed{A= \dfrac{(32+EF) \ . \ 6-X}{2}}$

$Como \ no \ enunciado \ est\'a \ dizendo \ que \ a \ paralela \ tra\c{c}ada \ em\\ rela\c{c}\~ao \ \`a \ base, \ representada \ pelo \ segmento \ (EF), \ dividiu \ o \ trap\'ezio\\ em \ dois \ trap\'ezios \ equivalentes \ quer \ dizer \ que \ as \ suas \ \'areas \ s\~ao\\ iguais, \ portanto:$

$\dfrac{(20+ EF) \ . \ X}{2} = \dfrac{(EF+32) \ . \ 6-X}{2}$

$\dfrac{20X+EF.X}{2} = \dfrac{6EF-EF.X+192-32X}{2}$

$10X+\dfrac{EF.X }{2} = 3EF+\dfrac{-EF.X }{2} +96-16X$

$\dfrac{EF.X }{2}+\dfrac{EF.X }{2}-3EF= 96-16X-10X$

$EF.X +-3EF= 96-26X$

$\boxed{EF= \dfrac{96-26X}{X-3} }$

$Agora \ vamos \ calcular \ a \ \'area \ do \ trap\'ezio \ ABCD \ (Roxo):$

$A= \dfrac{(32+20).6}{2}$

$A= \dfrac{52.6}{2}$

$\boxed{A= 156 \ m}$

$Observando \ as \ imagens \ chegamos \ a \ conclus\~{a}o \ de \ a \ soma \ das \ \'areas\\ dos \ trap\'ezios \ AEFD \ (Amarelo) \ e \ EBCF \ (Azul), \ resultar\'a \ na \ \'area\\ do \ trap\'ezio \ ABCD \ ( Roxo), \ portanto:$

$\dfrac{(20+EF) \ . \ X }{2}+\dfrac{(32+EF) \ . \ 6-X}{2}=156$

$\dfrac{(20X+EF.X)}{2}+\dfrac{(192+-32X+6EF-EFX)}{2}=156$

${20X+\not EF.X+192+-32X+6EF-\not EFX=156 \ . \ 2$

$20X+192+-32X+6EF= 312$

$-12X+6EF= 312-192$

$6EF= 120+12X$

$EF= \dfrac{120+12X}{6}$

$\boxed{EF= 20+2X}$

$Igualando \ as \ equa\c{c}\~oes \ de \ EF, \ temos \ que:$

$\dfrac{96-26X}{X-3} = 20+2X$

$96-26X = 20+2X .(X-3)$

$96-26X = 20X-60+2 x^{2} -6X$

$20X-60+2 x^{2} -6X-96+26X$

$(2 x^{2} +40X-156) \ \div 2$

$x^{2} +20X-78$

$\Delta= b^{2} -4.a.c$
$\Delta= 20 x^{2} -4.1.(-78)$
$\Delta= 400+312$
$\Delta= 712$

$X= \dfrac{-b+/- \sqrt{\Delta} }{2 \ . \ a}$
$X_1= \dfrac{-20+ \sqrt{712} }{2}$
$X_1= -10 + \dfrac{\sqrt{712} }{2}$

$\boxed{\bold{X_1 \simeq 3,34 \m}} \Rightarrow Dist\^{a}ncia \ da \ base \ menor \ a \ paralela \ tra\c{c}ada.$

$X_2= \dfrac{-20-\sqrt\not{712} }{2} \Rightarrow N\~ao \ existem \ medidas \ negativas$

 $Agora \ vamos \ calcular \ EF \ usando \ o \ valor \ de \ X \ encontrado, \ para\\ isso \ devemos \ substituir \ esse \ valor \ em \ uma \ das \ equa\c{c}\~oes \ de \ EF:$

$EF= 20+2X$
$EF= 20+2.(3,34)$

$\boxed{\bold{EF= 26,68}}\Rightarrow Segmento \ da \ paralela \ compreendido \ entre \ os \ lados\\ n\~ao \ paralelos$