Question

determine o valor de x em cada expressão abaixo

Answer 1

Vamos lá...

Temos um caso de exponencial onde devemos utlizar diversas propriedades da potenciação para chegarmos na resposta, por isso, colocarei todos os passos para um melhor entendimento, veja:

${3}^{2x} + 2 \times {3}^{x} - 15 = 0. \\ {3}^{2x} + 2 \times {3}^{x} = 15. \\ (3 ^{x})^{2} + 2 \times 3^{x} = 15.$

Observe que conseguimos igualar as bases e os expoentes de 3^2x. Nessa hora que vem o macete! Vamos chamar de "y" toda expressão que apresentar 3^X, veja:

$y = {3}^{2} . \\ ( {3}^{x})^{2} + 2 \times {3}^{x} = 15. \\ (y)^{2} + 2 \times y = 15. \\ y^{2} + 2y - 15 = 0.$

Observe que substituindo três elevado a "X" por 'y' e efetuando as operações, chegamos a uma equação do segundo grau, onde podemos resolver por soma e produto ou Bhaskara.

Para ser mais incisivo utilizarei soma e produto, mas se quiser utilize a fórmula de Bhaskara, veja:

${y}^{2} + 2y - 15 = 0. \\ \\ comece \: pelo \: produto \\ - \times - = 15. \\ 3 \times 5 = 15. \\ \\agora \: utilize \: a \: soma \\ - + - = - 2. \\ - 5 + 3 = - 2.$

Portanto, o conjunto solução dessa equação equivale a Y ={-5,3}.

Agora que descobrimos os valores de 'Y', devemos voltar para a equação principal e substituir os valores de 'Y' nas expressões que houver incógnitas, assim:

${3}^{2x} + 2 \times {3}^{x} - 15 = 0. \\ pegue \: a \: expressao \: onde \: \: possui \: x \:,usaremos \: {3}^{x} . \\ \\ y = {3}^{x}. \\ 3 = {3}^{x} . \\ x = 1.$

Por fim, o nosso 'X' equivale a 1.

Repare que não utilizamos o "Y" negativo, pois, o mesmo resultaria em um logaritmo de expoente negativo, resultando, assim, em um absurdo. Podemos provar matematicamente, veja:

$Provando \: o \: absurdo.\\ \\ y = {3}^{x}. \\ - 5 = {3}^{x} . \\ x = log \frac{ }{3}5. \\ log {3}^{x} = - 5. \: \\ \\ Portanto \: fora \: provado \: o \: absurdo.$

A partir desta analise, pudemos afirmar que valores de raízes negativas encontradas nos passos anteriores deve ser desprezada.

Espero ter ajudado!