Question

Uma caixa de base quadrada e sem tampa tem volume 32m332m3. Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material a ser usado para construí-la

Answer 1

O volume correto da caixa é de 32.000 cm³

Sendo a caixa de base quadrada, sabemos que seu volume será calculado pela seguinte expressão:

V = x² . y
y = V / x²
y = 32.000/x²



A área desta caixa será igual a área da base mais as área laterais, portanto:

A = x² + 4x.y
A = x² + 4x . (32.000/x²)
A = x² + 128.000/x

Para que a área da caixa seja mínima a sua derivada deve ser igual a 0, portanto:

A'(x) = 2x - (128.000 / x²)
A'(x) = 2x³ - 128.000 / x²

A1(x) = 0
2x³ - 128.000 = 0
2x³ = 128.000
x³ = 64.000
x = 40

∴ y = 32.000/x²
y = 32.000 / 40²
y = 20

As dimensões mínimas da caixa deverão ser 40x40x20