Question

Uma ajudinha aí amiguinhos , por favor!
Qual é a equação geral do plano determinado pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1)?

Answer 1

Temos que o vetor AB = B - A = (2, -1, 1) - (-1, 2, 0) = (3, 3, 1)
E temos que o vetor AC = C - A = (1, 1, -1) - (-1, 2, 0) = (2, -1, -1)
Considere um ponto genérico do plano, P(x, y, z)
Temos que o vebor AP = P - A = (x, y, z) - (-1, 2, 0) = (x + 1, y - 2, z)
Já que assumimos que o ponto P pertence ao plano, é fundamental que os três vetores, AB, AC e AP, sejam linearmente dependentes, ou seja, os três vetores estão contidos no mesmo plano.
Isso só acontece, quando temos que a determinante da seguinte matriz é igual a 0:
$\left[\begin{array}{ccc}x + 1&y - 2&z\\2&-1&-1\\3&3&1\end{array}\right]$
Portanto, temos que:
(x + 1)(-1)(1)+(y-2)(-1)(3) + (z)(2)(3)] - [(3)(-1)(z) + (3)(-1)(x + 1) + (1)(2)(y - 2) = 0
(Não precisamos mais de LaTeX, certo?)
Agora, simplificamos isso.
(-x - 1 - 3y + 6 + 6z) - (-3z - 3x - 3 + 2y - 4) = 0
-x - 1 - 3y + 6 + 6z + 3z + 3x + 3 - 2y + 4 = 0
2x - 5y + 9z - 1 + 6 +3 + 4 = 0
2x - 5y + 9z + 12 = 0.

Espero ter ajudado.