Question

Preciso de ajuda nesse cálculo:
(X2+2x). (X2-2x)=45 uma equação biquadrada ali no x2 é só quadrado!!

Answer 1

Aplica a propriedade distributiva entre os fatores:
$(x^{2} +2x)\ *\ ( x^{2} -2x)\ =\ 45 \\ x^{4}\ -\ 2 x^{3}\ +\ 2 x^{3}\ -\ 4 x^{2} \ =\ 45 \\ x^{4}\ -\ 4 x^{2} \ =\ 45 \\ x^{4}\ -\ 4 x^{2} \ -45\ =\ 0 \\ ( x^{2} )^{2} \ -\ 4 x^{2} \ -\ 45\ =\ 0$

A melhor maneira de resolver essa equação é fazendo uma troca de variável.

Fazendo x² = y, fica

y² - 4y - 45 = 0

Utilizando báscara.

$y' \ \ = \frac{4\ +\ \sqrt{196} }{2} \ =\ \frac{4+14}{2}\ =\ \frac{18}{2}\ =\ 9 \\ \\ y''\ =\ \frac{4 - 14}{2}\ =\ \frac{-10}{2}\ =\ -5$

Encontramos os dois valores de y, lembrando que y = x²
Temos que:

x = ± 3
x = √-5

Answer 2

$( x^2 + 2x) \times ( x^2 - 2x ) = 45$

Lembre do seguinte produto notável:

$a^2 - b^2 = ( a + b)(a-b)$

Nesse caso, temos a = x² e b = 2x, então podemos escrever a equação como:

$(x^2)^2 - (2x)^2 = 45 \\\\ x^4 - 4x^2 = 45 \\\\ x^4 - 4x^2 - 45 = 0$

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Escreva x⁴ como ( x²)² e substitua x² por uma variável qualquer. Nesse caso, escolhi c de Carol.

$(x^2)^2 - 4x^2 - 45 = 0 \\\\ c^2 - 4c - 45 = 0$

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Resolva essa equação do segundo grau do modo que preferir. Vou fazer por fatoração pois é mais rápido.

Uma dica pra resolver através desse método é pensar em uma diferença ou soma do termo central que, multiplicados, resultariam no termo independente, ou seja, podemos escrever 4c como 5c - 9c, e 5 x -9 = -45.

Após isso, basta por alguns termos estrategicamente em evidência.

Veja como é rápido resolver por esse método:

$c^2 - 4c - 45 = 0 \\\\ c^2 + 5c - 9c - 45 = 0 \\\\ c(c + 5) - 9( c + 5 ) = 0 \\\\ (c-9)(c+5) = 0$

Para que o produto seja 0, um dos fatores deve ser 0, então:

$c_1 - 9 = 0 \\ c_1 = 9 \\\\ c_2 + 5 = 0 \\ c_2 = -5$

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Como fizemos x² = c, basta devolver os valores:

$x^2 = 9 \\ x = \pm \: 3 \\\\ x^2 = -5 \\ x = \pm \: \sqrt{-5}$

Agora, como não foi definido o universo, vou adotar $U = \mathbb{ C}$
( conjunto dos números complexos).

As raízes reais são -3 e +3.

Já as imaginárias:

$x = \pm \: \sqrt{-5} \\\\ x = \pm \: \sqrt{-1 \times 5} \\\\ x = \pm \: ( \sqrt{ -1} \times \sqrt{5} ) \\\\ x = \pm \: i\sqrt{5}$

Soluções em $\mathbb{ C }$ :

$x = \begin{cases} -3 \\\\ 3 \\\\ - i \sqrt{5} \\\\ i\sqrt{5} \end{cases}$

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Obs: se seu/sua professor(a) ainda não tiver entrado no assunto de números complexos/imaginários, adote como solução apenas -3 e 3.