Question

calcule: integral (raiz(1+x^2)-X^5)dx

Answer 1

Pelas propriedades da integral,temos que:


$\int\ { \sqrt{1+x^2}-x^{5}} \, dx = \int\ \sqrt{1+x^2} dx - \int\ {x^5} \, dx$

Vamos calcular cada uma separadamente:

I.$\int\ \sqrt{1+x^2} dx$

Por substituição trigonométrica,faça x=tgα => dx=dα*sec²α.Logo,ficamos com:

$\int\ \sqrt{1+tg^2 \alpha } * sec^2 \alpha d \alpha$

Como 1+tg²α=sec²α,obtemos:

$\int\sec^{3} \alpha \, d \alpha$

Bem,para calcular tal integral você pode aplicar integração por partes (chame u=secα e dv=sec²α).Para evitar uma resposta mais longa,irei dizer logo o resultado:

$\int\sec^{3} \alpha \, d \alpha=(sec \alpha *tg \alpha +ln|sec \alpha +tg \alpha |)/2+C$

Substituindo de volta x:

$\int\ \sqrt{1+x^2} \, dx = ( \sqrt{1+x^2}*x+ln| \sqrt{1+x^2}+x|)/2 + C$

Além disso,veja que:

II.$\int x^5 \, dx = x^6/6 + C$

Portanto,a resposta é:

$( \sqrt{1+x^2}*x+ln| \sqrt{1+x^2}+x|)/2-x^6/6+C$

Observação:é possível calcular a primeira integral por substituição de Euler,fazendo √(1+x^2) = t+x.Contudo,esse método é bem mais trabalhoso.

Answer 2

Olá amigo. Considerando as informações dadas, creio que a integral é a seguinte

$\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} - x^5 \, \, dx \\ \\ \\ \int \sqrt{1+x^2} \, \, dx - \int x^5 \, \, dx \\ \\ \\ \int \sqrt{1+x^2} \, \, dx - \frac{1}{6} x^6 + C$

Com a integral que temos, vamos fazer a seguinte substituição trigonométrica:

$\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} \, \, dx \\ \\ \\ x = 1 \cdot \tan \theta \\ \\ dx = \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \int \sqrt{1 + (\tan \theta)^2} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \int \sqrt{1+\tan^2 \theta} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta$

De acordo com a identidade trigonométrica:

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \\ \\ \\ \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$

Temos:

$\displaystyle \int \sqrt{\sec^2 \theta} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \int \sec \tehta \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \int \sec^3 \, d \theta$

Utilizaremos a seguinte fórmula para essa integral:

$\displaystyle \int \sec^n \theta \, \, d \theta = \frac{1}{n-1} \sec^{n-1} \theta \sin \theta + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} \theta \, \, d \theta$

Daí:

$\displaystyle \int \sec^3 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{3-1} \sec^{3-1} \theta \sin \theta + \frac{3-2}{3-1} \int \sec^{3-2} \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{2} \sec^2 \theta \sin \theta + \frac{1}{2} \int \sec \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{2} \sec^2 \theta \sin \theta + \frac{1}{2} \ln | \tan \theta + \sec \theta | + C$

De acordo com a substituição trigonométrica, podemos rearranjá-la:

$\displaystyle x = \tan \theta \\ \\ \\ \tan \theta = \frac{x}{1}$

Comparando as duas fórmulas e imaginando um triângulo reto:

$\displaystyle \tan \theta = \frac{x}{1} \\ \\ \\ \tan \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{cateto \, \, adjacente}}$

Esse triângulo terá o cateto oposto sendo igual a x e o cateto adjacente igual a 1. A hipotenusa é dada da seguinte maneira:

$h^2 = 1^2 + x^2 \\ \\ \\ h = \sqrt{1+x^2}$

Com os valores da hipotenusa, cateto oposto e adjacente em mãos, podemos comparar as seguintes fórmulas:

$\displaystyle \sec \theta = \frac{\mathsf{hipotenusa}}{\mathsf{cateto \, \, adjacente}} \\ \\ \\ \sec \theta = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1} \\ \\ \\ \sec \theta = \sqrt{1+x^2} \\ \\ \\ ==== \\ \\ \\ \sin \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{hipotenusa}} \\ \\ \\ \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

Com os valores de secante, seno e tangente de teta, podemos voltar no resultado da integral e fazer as substituições e simplificações:

$\displaystyle \frac{1}{2} \sec^2 \theta \sin \theta + \frac{1}{2} \ln | \tan \theta + \sec \theta | + C \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{1+x^2})^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{2} \cdot \ln | \frac{x}{1} + \sqrt{1+x^2} | + C \\ \\ \\ \frac{x^3+x}{2 \sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{2} \ln | x + \sqrt{1+x^2} | + C$

Voltando na integral principal, temos:

$\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} - x^5 \, \, dx \\ \\ \\ \frac{x^3+x}{2 \sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{2} \ln | x + \sqrt{1+x^2} | - \frac{1}{6}x^6 + C \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \frac{x^3+x}{2 \sqrt{1+x^2}} + \frac{\ln | x + \sqrt{1+x^2} |}{2} - \frac{x^6}{6} + C }}$