Question

Sejam A e B duas matrizes de ordem n tais que AB=A e BA=B.
a) Mostre que a matriz A é indempotente;
b) Supondo que A é invertível, mostre que A=B=In

Answer 1

a) Como AB = A e BA = B, é tendo em conta a propriedade associativa do produto matricial, podemos escrever:
A = AB = A(BA) = (AB)A = AA = A².

Por definição, A = A² é idempotente.

b) Supor que a matriz A é invertível significa supor que existe uma matriz A⁻¹ tal que AA⁻¹ = A⁻¹A = In, onde In é a matriz identidade de ordem n.

Aplicando A⁻¹ a ambos os lados da igualdade AB = A, vem:
AB = A ⇔ A⁻¹AB = A⁻¹A ⇔ InB = In ⇔ B = In

Assim, substituindo na igualdade: BA = B, vem:
BA = B ⇔ InA = In ⇔ A = In

Como tal, provou-se que:
A = B = In