Question

Determine a fraçãoderatriz de cada dizem a periódica a 0, 777...

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Grilinho, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Determine a fração geratriz da dízima periódica "0,7777......".

ii) Veja que há uma forma bem prática pra você encontrar frações geratrizes de quaisquer dízimas periódicas.
Essa forma se resume no seguinte: multiplica-se a dízima dada por uma (ou mais) potências de 10. Depois, após algumas operacionalizações, deveremos fazer desaparecer o período (o período em dízimas periódicas é aquela parte que se repete. Daí o nome: dízima periódica).
Então faremos o seguinte. Vamos chamar a dízima dada de um certo "x". Assim:

x = 0,7777....

Agora vamos multiplicar "x' por "10", com o que ficaremos assim:

10*x = 10*0,7777.....
10x = 7,777777......

iii) Veja: se agora subtrairmos "x" de "10x" iremos fazer desaparecer o período, que é o que nos interessa. Então, fazendo isso, teremos:

10x = 7,77777......
- x = -0,77777......
------------------------------- subtraindo membro a membro, temos:
9x = 7,0000.... <--- Veja como fizemos desaparecer o período. Logo:
9x = 7
x = 7/9 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica 0,77777.....

Bem, a resposta já está dada. Mas,apenas para melhorar o seu entendimento, vamos dizer que você estaria querendo saber qual seria a fração geratriz da seguinte dízima periódica:

x = 0,12347474747......

Veja: primeiro vamos multiplicar a sua expressão por "1.000" e depois por "100.000" (que são as potências de 10 que depois de operacionalizarmos os dois resultados obtidos, vamos, tranquilamente, fazer desaparecer o período). Então, multiplicando primeiro por "1.000", teremos;

1.000*x = 1.000*0,12347474747...
1.000x = 123,47474747....

Agora multiplicaremos a mesma expressão original por "100.000". Assim, teremos:

100.000*x = 100.00*0,12347474747...
100.000x = 12.347,47474747.......

Agora subtrairemos, membro a membro, 1.000x de 100.000x, ficando assim:

100.000x = 12.347,474747474747....
...- 1.000x =... - 123,474747474747.......
-------------------------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
99.000x = 12.224,000000000 <-- Olha aí como fizemos desaparecer o período. Logo:

99.000x = 12.224
x = 12.224/99.000 ---- simplificando-se numerador e denominador por "8", ficaremos:

x = 1.528/12.375 <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica dada no nosso exemplo e que foi: 0,123474747....., que só fizemos aqui pra você entender que poderemos fazer isso com qualquer que seja a dízima periódica dada e acharemos, tranquilamente, qual é a sua fração geratriz.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.