Question

(CÁLCULO) Calcule a derivada da seguinte função (explique):

g (x) = ln $(\frac{x+1}{x-1})$

Answer 1

Olá


Propriedade de derivação de logaritmo natural:


$\displaystyle\mathsf{[\ell n (x)]'~=~ \frac{1}{x} }$



Da propriedade anterior tiramos de forma análoga que:



$\displaystyle\mathsf{[\ell n (u)]'~=~ \frac{u'}{u} }$



__________________________________________________




$\displaystyle\mathsf{g(x)~=~ \ell n\left(\frac{x+1}{x-1}\right) }$



Fazendo a mudança de variável


u = $\displaystyle\mathsf{\frac{x+1}{x-1} }$



Ficamos com a função na variável u


$\displaystyle\mathsf{g(u)~=~ \ell n\left(u\right) }$



E da propriedade vista no início, 


$\displaystyle\mathsf{[\ell n (u)]'~=~ \frac{u'}{u} }$




Para derivarmos u, teremos que utilizar de uma das regras de derivação, a regra do quociente, dada por:


$\displaystyle\mathsf{ \left(\frac{f}{g}\right)' ~=~ \frac{f'\cdot g~-~f\cdot g'}{g^2} }$



Aplicando essa regra e derivando u



$\displaystyle\mathsf{u~=~\frac{x+1}{x-1} }\\\\\\\mathsf{u'~=~ \frac{(x+1)'\cdot(x-1)~-~(x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} }\\\\\\\mathsf{u'~=~ \frac{(x-1)~-~(x+1)}{(x-1)^2} }\\\\\\\mathsf{u'= \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{u'= \frac{-2}{(x-1)^2} }}$



Agora, basta substituir na propriedade, e voltar para a variável x



$\displaystyle\mathsf{g'(u)~=~ \frac{u'}{u} }\\\\\\\\\mathsf{u~=~ \frac{x+1}{x-1}\qquad\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad u'~=~ \frac{-2}{(x-1)^2} }\\\\\\\\\\\mathsf{g'(x)~=~ \frac{ \frac{-2}{(x-1)^2} }{ \frac{x+1}{x-1} } }$



Divisão de frações, multiplica a 1ª pelo inverso da 2ª.



$\displaystyle \mathsf{g'(x)~=~ \frac{-2}{(x-1)^2}\cdot \frac{x-1}{x+1} }$



Simplifica,



$\displaystyle \mathsf{g'(x)~=~ \frac{-2}{(x-1)^{\diagup\!\!\!\!2}}\cdot \frac{\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!1}{x+1} }\\\\\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{g'(x)~=~ \frac{-2}{(x-1)(x+1)} }}}}\\\\\\\\\\\text{OU}\\\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{g'(x)~=~ \frac{-2}{x^2-1} }}}$