Question

determine a equação da reta tangente a curva f(x)=-x2 no ponto P(1;-1)

Answer 1

f(x)=-x²

f'=-2x   em P(1,-1) f'(1,-1) =-2*1=-2  que é o coeficiente angular da reta

-2=(y+1)/(x-1)

-2x+2=y+1

2x+y-1=0  é a reta tangente a curva

Answer 2

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -2x + 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                $\Large\begin{cases} y = -x^{2}\\P(1, -1)\end{cases}$

Observe que:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "P". Então, fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (-x^{2})\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\cdot2\cdot1^{2 - 1}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\cdot 1\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = -2\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{t}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (-1) = -2\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y + 1 = -2x + 2\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -2x + 2 - 1\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -2x + 1\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = -2x + 1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$