Question

determine o ponto da parábola f(x)=x2 que está mais próximo do ponto (7,-2)

Answer 1

A fórmula que rege a distância mínima entre uma curva e uma reta, obedece a seguinte relação:

$\frac{1}{ {f}^{l}(x) } = - \frac{f(x) - b}{x - a}$

Onde:

f`(x) é a derivada da função f (x).
a e b são as coordenadas do ponto em questão.

Temos:

${f}^{l} (x) = 2x \\ a = 7 \\ b = - 2$

Então:

$\frac{1}{2x} = - \frac{ {x}^{2} - ( - 2) }{x - 7} \\ 2 {x}^{3} + 4x = - x + 7 \\ {2x}^{3 } + 5x - 7 = 0 \\ x ({2x}^{2 } + 5) = 7$

Estudando o sinal da equação, nota-se que x > 0. Além disso, seu valor deve ser único e real, pois respresenta uma distância única (a menor possível) entre dois pontos definidos.

Assim, torna-se mais trivial concluir que esta equação cubica possui uma única solução real (x = 1), além de duas imaginárias a desconsiderar.

Logo, o ponto mais próximo de P = (7 , -2) é:

X = (1 , 1)

Obs.: A solução da equação cúbica apresentada é mais complexa, contudo visualmente foi fácil identificar uma solução real imediata, evitando cálculos avançados.