Question

Determine a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de oito raios de raio 8cm dica use o retângulo Central determinado por cada lado do polígono
Letra A 156 cm ao quadrado centímetros ao quadrado B 162 centímetros ao quadrado C 192 cm ao quadrado de 204 cm ao quadrado letra é 242 cm ao quadrado

Answer 1

Boa tarde!

Calculando o lado do dodecágono e o seu apótema conseguiremos obter a área.
Usando as relações podemos obter o lado:
$\sin 15^{\circ}=\dfrac{L}{2R}\\\sin 15^{\circ}=\dfrac{L}{16}\\L=16\sin 15^{\circ}$

Agora o apótema:
$\cos 15^{\circ}=\dfrac{a}{R}\\\cos 15^{\circ}=\dfrac{a}{8}\\a=8\cos 15^{\circ}$

A área pode ser obtida pela relação:
$A=p.a$, onde p é o semiperímetro da figura (polígono regular) e a é o seu apótema.

Calculando:
$A=\dfrac{12\cdot 16\sin 15^{\circ}}{2}\cdot 8\cos 15^{\circ}\\A=768\sin 15^{\circ}\cos 15^{\circ}\\A=768\cdot \dfrac{\sin 30^{\circ}}{2}=768\cdot\dfrac{1}{4}\\\boxed{A=192\text{ cm}^2}$

Espero ter ajudado!

Obs.: Há uma figura anexa com as letras para que fique bem entendida a solução! :)