Question

Determinar o valor de n para que seja 30 o ângulo entre as retas r:( x-2)/4= (y+4)/5= z/3 e s: y=nx +5, z=2x-2?

Answer 1

Boa noite!

Vetor diretor da reta r:
$\vec{d_1}=(4,5,3)$

Vetor diretor da reta s:
$\vec{d_2}=(1,n,2)$

Para calcular o ângulo entre dois vetores:
$\cos\theta=\dfrac{\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}}{\left\|\vec{d_1}\right\|\;\left\|\vec{d_2}\right\|}\\\cos 30^{\circ}=\dfrac{(4,5,3)\cdot (1,n,2)}{\sqrt{4^2+5^2+3^2}\sqrt{1^2+n^2+2^2}}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4+5n+6}{\sqrt{16+25+9}\sqrt{1+n^2+4}}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{10+5n}{\sqrt{50\cdot\left(5+n^2\right)}}\\\sqrt{3}\sqrt{50\cdot\left(5+n^2\right)}=2(10+5n)\\150\left(5+n^2\right)=\left(20+10n\right)^2\\750+150n^2=400+400n+100n^2\\50n^2-400n+350=0\\n'=7\\n''=1$

Temos, portanto, dois valores que podem tornar as retas com ângulos de 30 graus. N=1 ou N=7!

Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta:

n = 1 ou n = 7

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, precisamos determinar o vetor diretor de cada reta. Esse valor é determinado analisando o denominador de cada uma das equações. Desse modo, temos os seguintes valores:

Reta r:

$V_r=(4,5,3)$

Reta s:

$V_s=(1,n,2)$

Então, podemos utilizar a equação que relaciona o ângulo entre dois vetores, onde temos a seguinte função. Assim, substituímos os valores acima e obtemos:

$cos(\theta)=\frac{V_1V_2}{|V_1||V_2|}\\ \\ cos(30\º)=\frac{(4,5,3)(1,n,2)}{\sqrt{4^2+5^2+3^3} \sqrt{1^2+n^2+2^2}}\\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10+5n}{\sqrt{50}\sqrt{5+n^2}}\\ \\ \sqrt{3\times 50\times (5+n^2)}=20+10n\\ \\ Elevando \ os \ dois \ lados \ ao \ quadrado, \ temos:\\ \\ 750+150n^2=400+400n+100n^2\\ \\ 50n^2-400n-350=0 \ (\times \frac{1}{50})\\ \\ n^2-8n+7=0\\ \\ n_1=7\\ n_2=1$

Veja que não existem restrições aos dois valores, portanto o valor de n na equação pode ser tanto 1 ou 7.

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