Question

Preciso saber como fazer esta

Answer 1

Vamos lá.

Amigo Flayman, deu um trabalho insano. Mas acho que cheguei lá.
Não sei se o espaço vai ser suficiente pra tanto desenvolvimento.
Mas é pedido pra demonstrar que:

1 + x + x² + ... + x⁸⁰ = (x⁵⁴ + x²⁷ + 1)(x¹⁸ + x⁹ + 1)(x⁶ + x³ + 1)(x² + x + 1)

i) Vamos começar fazendo 1 = x⁰ . Assim, teremos que a demonstração será esta:

x⁰ + x + x² + ... + x⁸⁰ = (x⁵⁴ + x²⁷ + 1)(x¹⁸ + x⁹ + 1)(x⁶ + x³ + 1)(x² + x + 1).

ii) Agora veja:  vamos começar colocando "x⁰" em evidência nos três primeiros fatores, e após isso, andamos de 3 em 3 unidades e colocamos "x³" em evidência nos três próximos fatores, depois "x⁶", etc até o fim, sempre andando de 3 em 3 unidades. Assim teremos:

x⁰(1+x+x²) + x³(1+x+x²) + x⁶(1+x+x²) + x⁹(1+x+x²) + x¹²(1+x+x²) + x¹⁵(1+x+x²) + x¹⁸(1+x+x²) + x²¹(1+x+x²) + x²⁴(1+x+x²) + x²⁷(1+x+x²) + x³⁰(1+x+x²) + x³³(1+x+x²) + x³⁶(1+x+x²) + x³⁹(1+x+x²) + x⁴²(1+x+x²) + x⁴⁵(1+x+x²) + x⁴⁸(1+x+x²) + x⁵¹(1+x+x²) + x⁵⁴(1+x+x²) + x⁵⁷(1+x+x²) + x⁶⁰(1+x+x²) + x⁶³(1+x+x²) + x⁶⁶(1+x+x²) + x⁶⁹(1+x+x²) + x⁷²(1+x+x²) + x⁷⁵(1+x+x²) + x⁷⁸(1+x+x²).

iii) Agora colocamos (1+x+x²) em evidência, e ficaremos assim:

(1+x+x²)(x⁰ + x³ + x⁶ + x⁹ + x¹² + x¹⁵ + x¹⁸ + x²¹ + x²⁴ + x²⁷ + x³⁰ + x³³ + x³⁶ + x³⁹ + x⁴² + x⁴⁵ + x⁴⁸ + x⁵¹ + x⁵⁴ + x⁵⁷ + x⁶⁰ + x⁶³ + x⁶⁶ + x⁶⁹ + x⁷² + x⁷⁵ + x⁷⁸);

iv) Agora, novamente, começamos colocando "x⁰" em evidência nos três primeiros fatores e, novamente, andamos de 3 em 3 e colocamos o próximo em evidência (que vai ser o "x⁹" também nos três próximos fatores, depois o "x¹⁸" e, assim, sucessivamente, até o último. Então vamos ficar assim:

(1+x+x²)[x⁰(1+x³+x⁶) + x⁹(1+x³+x⁶) + x¹⁸(1+x³+x⁶) + x²⁷(1+x³+x⁶) + x³⁶(1+x³+x⁶) + x⁴⁵(1+x³+x⁶) + x⁵⁴(1+x³+x⁶) + x⁶³(1+x³+x⁶) + x⁷²(1+x³+x⁶)]

v) Agora colocaremos (1+x³+x⁶) em evidência. Assim, juntando com o que já estava em evidência [que era: (1+x+x²)], ficaremos assim:

(1+x+x²)(1+x³+x⁶)[x⁰ + x⁹ + x¹⁸ + x²⁷ + x³⁶ + x⁴⁵ + x⁵⁴ + x⁶³ + x⁷²]

vi) Novamente começamos colocando "x⁰" em evidência nos três primeiros fatores e, novamente, andamos de 3 em 3 e depois colocamos em evidência o "x²⁷" também nos próximos três fatores e assim sucessivamente até o último. Então teremos:

(1+x+x²)(1+x³+x⁶)[x⁰(1+x⁹+x¹⁸) + x²⁷(1+x⁹+x¹⁸) + x⁵⁴(1+x⁹+x¹⁸)]

vii) Agora, finalmente, colocamos (1+x⁹+x¹⁸) em evidência, com o que iremos ficar assim:

(1+x+x²)(1+x³+x⁶)(1+x⁹+x¹⁸)[(x⁰ + x²⁷ + x⁵⁴]  --- ou apenas:
(1+x+x²)(1+x³+x⁶)(1+x⁹+x¹⁸)(x⁰+x²⁷+x⁵⁴) ----- mas x⁰ = 1, como vimos antes. Então, no fim, ficaremos com:

(1+x+x²)(1+x³+x⁶)(1+x⁹+x¹⁸)(1+x²⁷+x⁵⁴) <--- Note que o que temos aqui é exatamente o que temos no enunciado da questão e era o que queríamos demonstrar. Apenas no enunciado da questão os termos estão em posições diferentes, ou seja, lá temos isto, o que é a mesma coisa que temos aí em cima, pois a ordem das parcelas não altera a soma, bem como a ordem dos fatores não altera o produto:

1 + x + x² + ... x⁸⁰ = (x⁵⁴+x²⁷+1)(x¹⁸+x⁹+1)(x⁶+x³+1)(x²+x+1)

Pode ser possível que haja outra forma de chegar ao resultado a que chegamos, mas só conseguimos fazendo todo esse "exercício" visto no nosso desenvolvimento.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.