Question

2. Discutir o sistema nas inc´ognitas x, y e z em fun¸c˜ao do parˆametro real a

x + 2y − z = 1,
2x − y + 3z = 2,
ax − 3y + 4z = 0.

Answer 1

Olá.

 

De forma geral, podemos afirmar que a questão quer saber se o sistema é impossível (SI), Possível e Determinado (SPD) ou Possível e Indeterminado (SPI), com o valor do coeficiente a. 

Principalmente por causa do quantidade caracteres que iriam ser gerados (o Brainly suporta no máximo 5.000), suponho que saiba usar o método de escalonamento para encontrar os resultados de um sistema.

 

Todo modo, apresento uma regras básicas que serão usadas:

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}$

 

É necessário que:

a₁₁, a₂₂, a₃₃ tenham seus valores iguais a 1.

a₂₁, a₃₁, a₃₂ tenham seus valores iguais a 0.

 

Para garantir que tenhamos os valores supracitados, farei manipulações com os coeficientes. Vamos aos cálculos.

 

Temos o sistema:

 

$\begin{cases}x+2y-z=1&Eq_1\\ 2x-y+3z=2&Eq_2\\ ax-3y+4z=0&Eq_3\end{cases}$

 

Com isso, temos o matriz:

 

$\begin{bmatrix} 1&2&-1&1\\ 2&-1&3&2\\ a&-3&4&0 \end{bmatrix}$

 

A nomenclatura das Equações (Eqₙ) continua a mesma. Agora, vamos manipular um pouco.

 

Farei: Eq₃ - 3Eq₂

 

$\begin{matrix} a-(3\cdot2)&-3-(3\cdot(-1))&4-(3\cdot3)&0-(3\cdot2)\\ a-6&-3+3&4-9&0-6\\ (a-6)&0&-5&-6 \end{matrix}$

Agora, temos:

$\begin{array}{rccccc} Eq_1:&1&2&-1&1\\ Eq_2:&2&-1&3&2\\ Eq_3:&(a - 6)&0&-5&-6 \end{array}$

Faço agora: Eq₂ - 2Eq₁

 

$\begin{matrix} 2-2(1)&-1-2(2)&3-2(-1)&2-2(1)\\ 2-2&-1-4&3+2&2-2\\ 0&-5&5&0 \end{matrix}$

 

Agora, temos:

$\begin{array}{rccccc} Eq_1:&1&2&-1&1\\ Eq_2:&0&-5&5&0\\ Eq_3:&(a - 6)&0&-5&-6 \end{array}$

 

Faço agora: -2Eq₂ / 5Eq₁

 

$\begin{matrix} \dfrac{-2(0)}{5(1)}&\dfrac{-2(-5)}{5(2)}&\dfrac{-2(5)}{5(-1)}&\dfrac{-2(0)}{5(1)}\\\\ 0&\dfrac{10}{10}&\dfrac{-10}{-5}&0\\\\ 0&1&2&0\\\\ \end{matrix}$

 

Agora, temos:

 

$\begin{array}{rccccc} Eq_1:&1&2&-1&1\\ Eq_2:&0&1&2&0\\ Eq_3:&(a - 6)&0&-5&-6 \end{array}$

 

Dividindo Eq₃ por -5 estaremos próximo do estágio final. Teremos:

 

$\begin{matrix} \dfrac{(a-6)}{-5}&\dfrac{0}{-5}&\dfrac{-5}{-5}&\dfrac{-6}{-5}\\\\ \dfrac{(a-6)}{-5}&0&1&\dfrac{6}{5}\end{matrix}$

 

Terminado o escalonamento, teremos:

 

$\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\\\0&1&2&0\\\\\dfrac{(a-6)}{-5}&0&1&\dfrac{6}{5} \end{bmatrix}$

 

Igualando o primeiro termo da 3ª linha a 0, podemos ter os valores possíveis para a.

 

$\dfrac{(a-6)}{-5}=0\\\\\\ (a-6)=0\cdot(-5)\\\\ a-6=0\\\\ \boxed{a=6}$

 

Para x diferente de 0, temos que esses sistema é um SPD (Sistema Possível e Determinado), já que tem valores únicos para cada incógnita.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$