Question

Preciso de alguns exempols de questões de calculo diferencial e integral a uma variávelLeia o fragmento de texto a seguir:

"No método de integração por partes, tem-se que ∫udv=uv−∫vdu, sendo uu e v funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I=∫ln(x)dx.
Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155.

De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral II vale:

A x(ln(x)−x)+c.

B x(ln(x)+1)+c.

C x(ln(x)−x2)+c.

D x(ln(x)−3x)+c.

E x(ln(x)−1)+c.

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Resolver a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int~\ell n(x)~dx}}$

Seguindo a fórmula da integração por partes, teremos:

$\mathsf{\displaystyle\int~uv'=uv-\displaystyle\int~vu'}}}$

Façamos:

u = ln(x) = > u' = (1/x)

v = x = > v' = 1

Ante o exposto, teremos:

$\mathsf{\displaystyle\int~\ell n(x)~dx}}\\\\\\\ \mathsf{x~\ell n(x)-\displaystyle\int~1~dx}}\\\\\\\ \mathsf{x~\ell n(x)-x}}$

Fazendo as devidas simplificações, teremos:

$\mathsf{x(\ell n(x)-1)+C}}$

Ou seja, a alternativa "E" é a correta.

Espero que te ajude