Question

URGENTE No método de integração por partes, tem-se que ∫udv=uv−∫vdu, sendo uu e v funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I=∫ln(x)dx.
Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155.

De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral II vale:

A x(ln(x)−x)+c.

B x(ln(x)+1)+c.

C x(ln(x)−x2)+c.

D x(ln(x)−3x)+c.

E x(ln(x)−1)+c.

Answer 1

Olá!

Queremos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle I=\int\ln(x)\,dx$

Vamos fazer a substituição sugerida pelo enunciado:

$u=\ln(x)\Longrightarrow du=\dfrac{1}{x}\,dx\\\\ dv=dx\Longrightarrow v=x\\\\ \displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\ \int \ln(x)\,dx=\ln(x)\cdot x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx\\\\ \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-\int dx\\\\ \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\\\\ \int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C\Longrightarrow \boxed{\text{Letra }\bold{E}}$

Portanto, a resposta é Letra E.

Answer 2

A integral ∫ln(x) dx vale x(ln(x) - 1) + c.

Para integramos a função f(x) = ln(x), precisamos utilizar a técnica de integração por partes.

Para isso, vamos definir quem será u e quem será dv.

Chamando u = ln(x), temos que du = 1/x.

Chamando dv = dx, temos que v = x.

Com as funções definidas, vamos fazer a substituição na fórmula ∫u.dv = u.v - ∫v.du.

Assim, obtemos:

∫ln(x) dx = x.ln(x) - ∫x.1/x dx

∫ln(x) dx = x.ln(x) - ∫dx

∫ln(x) dx = x.ln(x) - x + c

Lembre-se: a integral é indefinida. Então, devemos somar a constante c no final da integração.

Observe que podemos colocar o x em evidência. Portanto:

∫ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + c.

Logo, a alternativa correta é a letra e).

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