Question

resolva a equacao x^3 -5x^2 + 2x + 8 = 0 sabendo que uma raiz é o quadruplo da soma das outras duas

Answer 1

Essa equação admite até 3 raízes, vamos à elas. Por dedução, consegui que a primeira raiz é "2". Logo, fazendo o método do Briot Ruffini, encontraremos uma equação de grau 2, assim facilmente resolveremos por Bhaskara. A equação é a seguinte:
x² - 3x - 4 =0
a) 1  b) -3  c) -4
(-b±√b²-4ac))/2a
(3±√9+16))/2
(3±5)/2
x' = (3+5)2 = 4
x'' = (3-5)/2 = -1

S = {2,4,-1}

Answer 2

Relações de Girard (3º)

ax³+bx²+cx+d=0   

x1+x2+x3= -b/a

x1x2+x1x3+x2x3=c/a

x1x2x3=-d/a

x^3 -5x^2 + 2x + 8 = 0   ...a=1,b=-5,c=2,d=8

do texto sabemos que ==> x3=4*(x1+x2)

x1+x2+4*(x1+x2)= 5  ==>5*(x+x2)=5  ==>x1+x2=1

x1x2+x1x3+x2x3=2 ==>x1x2+x3*(x1+x2)=2 ==>x1x2+x3=2 ==>x1x2=2-x3

x1x2x3=-8 ==>(2-x3)x3=-8 ==> vou chamar x3=y ==>2y-y²=-8

y²-2y-8=0

y'=[2+√(4+32)]/2=(2+6)/2=4

y''=[2-√(4+32)]/2=(2-6)/2=-2

x3  é  4   ou x3=-2

Verificando se x=4 é uma raiz => 4^3-5*4^2 +2*4+8 = 0 é raiz

Verificando se x=-2 é uma raiz => (-2)^3-5*(-2)^2 +2*(-2)+8 = 16 não  é raiz

Sabemos agora que  4 é uma raiz, vou diminuir um grau , utilizando o dispositivo de Ruffini

           |    1     |    -5      |      2     |    8

4         |     1   |     -1      |    -2     |     0

                x²      -x     -2=0

x'=[1+√(1+8)]/2=(1+3)/2=2

x''=[1-√(1+8)]/2=(1-3)/2=-2/2=-1

Raízes {-1, 2, 4}  é a resposta