resolva a equacao x^3 -5x^2 + 2x + 8 = 0 sabendo que uma raiz é o quadruplo da soma das outras duas
Respostas
x² - 3x - 4 =0
a) 1 b) -3 c) -4
(-b±√b²-4ac))/2a
(3±√9+16))/2
(3±5)/2
x' = (3+5)2 = 4
x'' = (3-5)/2 = -1
S = {2,4,-1}
Relações de Girard (3º)
ax³+bx²+cx+d=0
x1+x2+x3= -b/a
x1x2+x1x3+x2x3=c/a
x1x2x3=-d/a
x^3 -5x^2 + 2x + 8 = 0 ...a=1,b=-5,c=2,d=8
do texto sabemos que ==> x3=4*(x1+x2)
x1+x2+4*(x1+x2)= 5 ==>5*(x+x2)=5 ==>x1+x2=1
x1x2+x1x3+x2x3=2 ==>x1x2+x3*(x1+x2)=2 ==>x1x2+x3=2 ==>x1x2=2-x3
x1x2x3=-8 ==>(2-x3)x3=-8 ==> vou chamar x3=y ==>2y-y²=-8
y²-2y-8=0
y'=[2+√(4+32)]/2=(2+6)/2=4
y''=[2-√(4+32)]/2=(2-6)/2=-2
x3 é 4 ou x3=-2
Verificando se x=4 é uma raiz => 4^3-5*4^2 +2*4+8 = 0 é raiz
Verificando se x=-2 é uma raiz => (-2)^3-5*(-2)^2 +2*(-2)+8 = 16 não é raiz
Sabemos agora que 4 é uma raiz, vou diminuir um grau , utilizando o dispositivo de Ruffini
| 1 | -5 | 2 | 8
4 | 1 | -1 | -2 | 0
x² -x -2=0
x'=[1+√(1+8)]/2=(1+3)/2=2
x''=[1-√(1+8)]/2=(1-3)/2=-2/2=-1
Raízes {-1, 2, 4} é a resposta