Question

sabe-se que o determinante da matriz M vale 2 e o determinante da matriz N vale 8 . Se M e N sao matrizes de ordem 2 , o valor do det [(2.M^t) . (4.N^-1)]

Answer 1

Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, temos as propriedades:

$\mathsf{\bullet\,\,det(kA)=k^{n}det(A),\,onde\,k\,\'e\,uma\,constante\,qualquer}\\\\\mathsf{\bullet\,\,det(A^{t})=det(A)}\\\\\mathsf{\bullet\,\,det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)}\\\\\mathsf{\bullet\,\,det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}\,\,se\,A^{-1}\,existe}$
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Queremos calcular $\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]}$

Definindo $\mathsf{A=2M^{t},\,B=4N^{-1}}$, temos que A e B são matrizes quadradas de ordem 2 (logo o produto AB é bem definido)

Com isso,

$\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=det(A\cdot B)\stackrel{prop.}{=}det(A)\cdot det(B)}$

Vamos avaliar então $\mathsf{det(A)}$ e $\mathsf{det(B)}$.

$\mathsf{det(A)=det(2M^{t})}\\\\\mathsf{det(A)\stackrel{prop.}{=}2^{2}det(M^{t})}\\\\\mathsf{det(A)=4\,det(M^{t})}\\\\\mathsf{det(A)\stackrel{prop.}{=}4\,det(M)}\\\\\mathsf{det(A)=4\cdot2}\\\\\boxed{\mathsf{det(A)=8}}$

$\mathsf{det(B)=det(4N^{-1})}\\\\\mathsf{det(B)\stackrel{prop.}{=}4^{2}det(N^{-1})}\\\\\mathsf{det(B)=16\,det(N^{-1})}\\\\\mathsf{det(B)\stackrel{prop.}{=}16\cdot\dfrac{1}{det(N)}}\\\\\mathsf{det(B)=16\cdot\dfrac{1}{8}}\\\\\mathsf{det(B)=\dfrac{16}{8}}\\\\\boxed{\mathsf{det(B)=2}}$

Portanto:

$\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=det(A)\cdot det(B)}\\\\\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=8\cdot2}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=16}}}$
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Se já estiver familiarizado com as propriedades de determinante, a conta é bem mais direta:

$\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=det\big[8M^{t}N^{-1}\big]}\\\\\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=8^{2}\,det(M^{t})\,det(N^{-1})}\\\\\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=64\,det(M)\,\dfrac{1}{det(N)}}\\\\\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=64\cdot2\cdot\dfrac{1}{8}}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{det\big[(2M^{t})\cdot(4N^{-1})\big]=16}}}$

Answer 2

O valor de $det((2M^T).(4N^{-1}))$ é igual a 16.

Primeiramente, vamos relembrar a propriedade de determinante nos diz que:

• det(A.B) = det(A).det(B).

Então, vamos reescrever o determinante inicial da seguinte maneira:

$det((2M^T).(4N^{-1})) = det(2M^T).det(4N^{-1})$.

Existe uma outra propriedade de determinante que nos diz que:

• det(k.A) = kⁿ.det(A), sendo n a ordem da matriz quadrada A.

Como M e N são matrizes de ordem 2, então:

$det(2M^T).det(4N^{-1}) = 2^2.det(M^T).4^2.det(N^{-1})$

$det(2M^T).det(4N^{-1}) = 4det(M^T).16det(N^{-1})$

$det(2M^T).det(N^{-1})=64det(M^T).det(N^{-1})$.

Agora, veja que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz e que o determinante da matriz inversa é igual a 1 sobre o determinante da matriz.

Logo:

$det(2M^T).det(N^{-1})=64.det(M).\frac{1}{det(N)}$.

Como o determinante da matriz M é 2 e o determinante da matriz N é 8, podemos concluir que:

$det(2M^T).det(N^{-1}) = 64.2.\frac{1}{8}$

$det(2M^T).det(N^{-1})=16$.

Para mais informações sobre determinante: https://brainly.com.br/tarefa/18409452