Question

suponha que o numero de casos de uma doença reduzido no decorrer do tempo conforme a função f(t)=k.2q.t, sendo k e q constantes e o tempo t dado em anos. determine as constantes K e Q sabendo que o instante T=0 existiam 2.048 casos, e que apos 4 anos o numero de casos era a quarta parte desse valor inicial. POR FAVOR ME AJUDEM !!!!!!!!!!

Answer 1

$f(t)=k\cdot2^{q\cdot t}$

Pelo enunciado, no instante $t=0$, temos $f=2048$, ou seja, $f(0)=2048$:

$k\cdot2^{q\cdot0}=2048 \iff k\cdot2^{0}=2048 \iff k\cdot1=2048 \iff \boxed{k=2048}$

Assim, a partir de agora a função em questão é $f(t)=2048\cdot2^{q\cdot t}$

Além disso, após $4$ anos o numero de casos era a quarta parte desse valor inicial.

Isso significa que $f(4)=\dfrac{f(0)}{4}$. Como $f(0)=2048$, então $f(4)=\dfrac{2048}{4} \iff f(4)=512$.

Mas, $f(4)=2048\cdot2^{q\cdot4}=2048\cdot2^{4q}$. Logo:

$2048\cdot2^{4q}=512$

Lembre-se que $2048=2^{11}$ e $512=2^{9}$

$2^{11}\cdot2^{4q}=2^{9}$

$2^{4q+11}=2^{9}$

$4q+11=9 \iff 4q=-2 \iff \boxed{q=-\dfrac{1}{2}}$

Portanto, $k=2048$ e $q=-\dfrac{1}{2}$.