Question

Sabendo que en uma pg a2 +a4=60ea3+a5=180calcule a6

Answer 1

Pela fórmula do termo geral $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, temos:

$a_2=a_1\cdot q \ \ \ \ \ \ a_3=a_1\cdot q^2 \ \ \ \ \ \ \ a^4=a_1\cdot q^3 \ \ \ \ \ \ \ a_5=a_1\cdot q^4$

Pelo enunciado, $a_2+a_4=60$ e $a_3+a_5=180$. Ou seja:

$a_1\cdot q+a_1\cdot q^3=60~~~(i)$

$a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^4=180$

Colocando $a_1\cdot q$ em evidência na primeira equação e $a_1\cdot q^2$ na segunda:

$a_1\cdot q\cdot(1+q^2)=60$

$a_1\cdot q^2\cdot(1+q^2)=180$

Dividindo a segunda equação pela primeira:

$\dfrac{a_1\cdot q^2\cdot(1+q^2)}{a_1\cdot q\cdot(1+q^2)}=\dfrac{180}{60}$

$q=3$

Substituindo em $(i)$:

$a_1\cdot q+a_1\cdot q^3=60$

$a_1\cdot3+a_1\cdot3^3=60 \iff 3a_1+27a_1=60$

$30a_1=60 \iff a_1=\dfrac{60}{30} \iff \boxed{a_1=2}$

Desse modo:

$a_6=a_1\cdot q^5 \iff a_6=2\cdot3^5$

$a_6=2\cdot243 \iff \boxed{a_6=486}$

$\text{PG}(2, 6, 18, 54, 162, 486)$