Question

Indique a área máxima que um retângulo pode ter,sabendo que seu perímetro mede 80cm.

Answer 1

80/4 = 20

20.20 = 400 m²

A maior área possível de um retângulo é um quadrado.

Lembre-se: todo quadrado é um retângulo. 

Answer 2

Um retângulo é uma figurara geométrica que possui quatro lados. Na questão é informado que o perímetro (soma de todos os lados) é igual a 80 cm. Logo:

$\mathsf{P=x+x+y+y}\\\\\mathsf{80=2x+2y}\\\\\mathsf{80=2\cdot \left(x+y\right)}\\\\\mathsf{40\cdot \diagup \!\!\!\! 2=\diagup \!\!\!\!2\cdot \left(x+y\right)}\\\\\mathsf{x+y=40}\\\\\mathsf{x=40-y \: \: \: \: \: (i)}$

Para calcularmos a area de um retangulo, basta multiplicar a base $\mathsf{(x)}$ pela altura $\mathsf{(y)}$:

$\mathsf{Area=x \cdot y \: \: \: \: \: (ii)}$

Substituindo i em ii, teremos a função que determina a área do retângulo em relação a $\mathsf{x}$:

$\mathsf{A\left(x\right)=x\cdot \left(40-x\right)}\\\\\mathsf{A\left(x\right)=40x-x^2}\\\\\mathsf{A\left(x\right)=-x^2+40x}$

A função acima possui concavidade "virada para baixo", pois o coeficiente angular é negativo. Assim, a função terá um valor máximo, esse valor ira determinar a área máxima que o retângulo pode ter. Para determinar basta encontrar o $\mathsf{y_v}$:

$\mathsf{a=-1\:;\:b=40\:;\:c=0}$

$\mathsf{y_v=-\dfrac{\Delta }{4a}}\\\\\\\mathsf{y_v=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}}\\\\\\\mathsf{y_v=-\dfrac{40^2-\left[4\cdot \left(-1\right)\cdot 0\right]}{4\cdot \left(-1\right)}}\\\\\\\mathsf{y_v=\dfrac{40\cdot 40}{4}}\\\\\\\mathsf{y_v=40\cdot 10}\\\\\\\boxed{\mathsf{y_v=400\:cm^2}}\: \: \checkmark$

Comprovando os valores de $\mathsf{x}$:

$\mathsf{x_v=-\dfrac{b}{2a}}\\\\\\\mathsf{x_v=-\dfrac{40}{2\cdot \left(-1\right)}}\\\\\\\mathsf{x_v=\dfrac{40}{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x_v=20 \: cm}}\: \: \checkmark$

Substituindo o valor máximo que $\mathsf{x}$ pode assumir em uma das equações encontraremos:

$\mathsf{y=40-x}\\\\\mathsf{y=40-20}\\\\\boxed{\mathsf{y=20\:cm}}\: \: \checkmark$

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Gabarito: A área máxima que o "retângulo" pode ter é 400 cm²