Question

Determine os valores de a e b para os quais ocorre a igualdade: -3x + 4/ x(x-1) = a/ x + b/ x-1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nathalia, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar os valores de "a' e de "b" para os quais ocorre a igualdade seguinte:

(-3x+4)/x*(x-1) = a/x + b/(x-1)

Note que o mmc dos denominadores do 2º membro é x*(x-1). Assim, utilizando esse mmc no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(-3x+4)/x*(x-1) = (a*(x-1) + b*x)/x*(x-1) ---- desenvolvendo, teremos:
(-3x+4)/x*(x-1) = (ax-a + bx)/x*(x-1) ---- considerando que x e "x-1" sejam diferentes de zero, então poderemos multiplicar ambos os membros por x*(x-1). Fazendo isso, iremos ficar apenas com:

x*(x-1)*[(-3x+4)/x*(x-1)] / x*(x-1)*[(ax-a + bx)/x*(x-1)] ---- dividindo-se "x*(x-1)" do numerador de cada membro pelo denominador x*(x-1) de cada membro, iremos ficar apenas com:

-3x + 4 = ax - a + bx --- vamos ordenar o 2º membro, ficando:
-3x + 4 = ax + bx - a ----no 2º membro, colocamos "x" em evidência, ficando:
-3x + 4 = (a+b)x - a --- agora vamos comparar os dois membros. Comparamos o coeficiente de "x" do 1º membro com o coeficiente de "x" do 2º membro; e comparemos o termo independente do 1º membro com o termo independente do 2º membro. Assim, teremos isto:

- 3 = a + b --- ou, invertendo-se, temos:
a + b = - 3      . (I)

e

4 = - a ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos:
a = - 4      . (II)

ii) Da comparação que fizemos ficamos com as expressões (I) e (II) e que são estas:

a + b = - 3      . (I)
e
a = - 4            . (II)

Já vimos que "a" é igual a "-4", conforme nos informa a expressão (II). Então vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "a' por "-4". A expressão (I) é esta:

a + b = - 3 ---- substituindo-se "a" por "-4", teremos:
-4 + b = - 3
b = - 3 + 4
b = 1 <--- Este é o valor de "b".

iii) Assim, resumindo, temos que os valores de "a" e de "b" são:

a = - 4; b = 1 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.