Question

no plano, com o sistema de coodernadas cartesiano usual, o grafico fa função quadrática f(x)=ax^2+bx+c intersecta o eixo Y no ponto (0,23) e atinje seu mínimo igual a 7 quando x=4. Nessas condições, a soma dos coeficientes a+b+c é igual : a) 25 b)16 c)21 d)18

Answer 1

A função quadrática do tipo $f(x)=a x^{2} +bx+c$ também é representada de forma fatorada:

$a(x-x')(x-x")=0$

Vamos utilizar esta forma fatorada para resolvermos a questão com os dados que temos.

O ponto em que o gráfico intercepta o eixo y é representado pela abscissa 0 e ordenada 23, ou seja (0,23).

O vértice da parábola (toda função quadrática é representada por uma parábola) tem abscissa 4 e ordenada 7, sendo (4,7). O problema ainda nos informa que o mínimo do gráfico é igual a 7. Com esta informação, pode-se afirmar que a parábola possui a concavidade voltada para cima pois o seu mínimo (vértice) é o ponto mais baixo da função em questão.

Organizando os dados, temos:

Intersecção com eixo y => (0,23)

Vértice => (4,7)

Dando os primeiros passos para a resolução do problema:

Sabendo-se que o vértice divide a parábola em dois lados simétricos, podemos concluir então que, a intersecção com o eixo y estando à esquerda do vértice, é a primeira raiz (x') e ainda, o termo c da equação pois, para encontrarmos o y do ponto de intersecção do gráfico, substituímos o x por zero (0) ficando:

$a*0^{2}+b*0+c$

Sabendo que todo número multiplicado por zero continua sendo zero, logo inferimos que o c (termo independente) equivale a 23.

Para acharmos a segunda raiz, basta somar a primeira raiz com o dobro do valor do x do vértice (pois o vértice divide simetricamente a parábola). Então, temos:

$0+2*4=8$

O ponto da segunda raiz então fica: (8,23).

Voltando à forma fatorada da função quadrática:

$a(x-x')(x-x")=0$

Sendo $x'=0$ e, $x"=8$, podemos montar a nossa equação:

$a(x-0)*(x-8)=0$

Resolvendo os dois parênteses através da distributiva, temos:

$a( x^{2} -8x-0+0)=0$

Desconsideramos os dois zeros dentro dos parênteses pois quando multiplicados pelo fator a, serão zero. Então, temos:

$a x^{2} -8ax=0$

Como havíamos encontrado o termo c anteriormente, adicionamos ele à função:

$a x^{2} -8ax+23=0$

Agora, podemos somar os fatores:

$a=1$

$b=-8*a$ => $b=-8$

$c=23$

Somando:

$1+(-8)+23=16$

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

Pelo enunciado temos que a função intersecta o eixo do x no ponto (0,23)

e vértice = (4,7)

então ao efetuarmos f(0) teremos:

f(0) = a.0^2 + b.0 + c, como f(0) = 23,

23 = 0 + 0 + c, então concluímos que c =23

Sabendo que Xv = 4 e Yv = 7, podemos substituí-los em suas determinadas fórmulas:

Xv = - b/2a, então temos:

4 = -b/2a, fazendo a multiplicação cruzada, temos: 8a = -b, ou seja,  b = - 8a

Yv = - (b²-4.a.c)/4a, como Yv = 7, e sabemos que c = 23 e b = - 8a, podemos substituir:

7 = - ( -8a)² - 4.a.23/4a , aplicando a multiplicação cruzada, temos:

28= - (64 a² + 92 a)

64 a² - 92 a + 28 a = 0

64 a² - 64 a = 0

64 a (a - 1) = 0

resolvendo temos que:

64 a= 0

a = 0

ou

a - 1 = 0

a = 1

descartamos a=0 pois a tem que ser maior que zero devido a fórmula do Xv, e não existir divisão por zero, logo a= 1.

Substituindo agora em:

b = - 8 a, temos que b = - 8 . 1 = - 8

logo a + b + c = 1 + (-8) + 23 = 16

Resposta correta é a letra B.

Explicação passo-a-passo: