Question

Sabendo que o raio da circunferência que circunscre o triângulo equilátero mede 30cm a área desse triângulo e de?

Answer 1

Quando uma circunferência circunscreve um triângulo equilátero, o seu raio equivale a $\dfrac{2}{3}$ da altura do triângulo.

A altura de um triângulo equilátero de lado $\text{L}$ é dada por $\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{2}$. Assim, o raio é igual a $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{3}$

Como o raio mede $30~\text{cm}$, temos que:

$\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{3}=30 \iff \text{L}\sqrt{3}=90 \iff \text{L}=\dfrac{90}{\sqrt{3}} \iff \text{L}=\dfrac{90}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\text{L}=\dfrac{90\sqrt{3}}{3} \iff \text{L}=30\sqrt{3}~\text{cm}$

Logo, o lado desse triângulo equilátero mede $30\sqrt{3}~\text{cm}$. 

A área de um triângulo equilátero de lado $\text{L}$ é dada por $\dfrac{\text{L}^2\sqrt{3}}{4}$

Portanto, a resposta é

$\text{S}=\dfrac{\text{L}^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(30\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{900\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2700\sqrt{3}}{4}$

$\boxed{\text{S}=675\sqrt{3}~\text{cm}^2}$