Question

Dois atletas estavam correndo, um na raia 1 e outro na raia 2, quando pararam para descansar. O atleta da raia 2 disse que será 10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia é maior, já o outro atleta discordou, pois ele acreditava ter dado mais voltas. Se a semicircunferência tracejara da raia 1 tem raio igual a 10 metros, a da raia 2 tem de 12 metros, e as partes retas tem 100 metros de comprimento, então qual é o número mínimo de voltas que o atleta da raia 1 deve completar pra correr mais que o outro? ( preciso de um passo a passo)

Answer 1

Vamos primeiro calcular a distância percorrida pelo atleta da raia II. Veja que podemos juntar as duas semicircunferências e formar uma circunferência.

Com isso, o atleta da raia II percorre em cada volta duas partes retas de 100 metros e uma circunferência com raio igual a 12 metros.

O comprimento de uma circunferência de raio $r$ é dado por $2\cdot\pi\cdot r$. Assim, o comprimento de uma circunferência com raio igual a 12 metros é $2\cdpi\pi\cdot12=24\pi$ metros.

Deste modo, em cada volta o atleta da raia II percorre $100+100+24\pi=200+24\pi$ metros. Logo, se ele deu $10$ voltas, então ele correu $10\cdot(200+24\pi)=2000+240\pi$ metros.

Agora o atleta da raia I. Este percorre as mesmas partes retas de 100 metros e também uma circunferência, mas com raio igual a 10 metros.

O comprimento dessa circunferência é $2\cdot\pi\cdot10=20\pi$. Assim, o atleta da raia I corre $100+100+20\pi=200+20\pi$ metros em cada volta.

Seja $\text{V}$ o número que o atleta da raia I deve completar para correr mais que o outro. Então:

$\text{V}\cdot(200+20\pi)>2000+240\pi$

$\text{V}>\dfrac{2000+240\pi}{200+20\pi}$

Sendo $\pi=3,14$:

$\text{V}>\dfrac{2000+240\cdot3,14}{200+20\cdot3,14} \iff \text{V}>\dfrac{2000+753,6}{200+62,8}$

$\text{V}>\dfrac{2753,6}{262,8} \iff \text{V}>10,47$. Como $\text{V}$ deve ser um valor natural, então $\text{V}=11$

Letra A

Answer 2

O atleta da raia 1 deve completar no mínimo 11 voltas, alternativa A.

Do enunciado, sabemos que:

• a semicircunferência da raia 1 possui 10 metros de raio;
• a semicircunferência da raia 2 possui 12 metros de raio;
• as partes retas possuem 100 m de comprimento;

Comprimento da semicircunferência

Note que cada raia é formada por duas partes retas de 100 metros e duas semicircunferências de raio r, logo, seu comprimento será:

C = 100 + 100 + 2πr

C = 200 + 2πr

O atleta na raia 2 diz que deu 10 voltas na pista, logo:

C2 = 10·(200 + 2π·12)

C2 = 2000 + 240π

Para correr mais que o outro, o atleta na raia 1 deverá percorrer x voltas tal que:

C1 > C2

x·(200 + 2π·10) > 2000 + 240π

x > (2000 + 240π)/(200 + 20π)

Considerando π = 3, temos:

x > (2000 + 720)/(200 + 60)

x > 10,46

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