• Matéria: Matemática
  • Autor: silvaseixas1
  • Perguntado 8 anos atrás

INTEGRAL DEFINIDA;
alguem pode ajudar

Anexos:

Respostas

respondido por: TioLuh
1
Olá Silva!

Temos a integral:

\displaystyle \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{x \, dx}{(x^2+1)^2}  } \\ \\ \\ \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{x}{(x^2+1)^2} \, \, dx}

Podemos fazer a seguinte substituição:

\displaystyle \mathsf{ u = x^2+1 } \\ \\ \mathsf{du=2x \, dx} \\ \\ \mathsf{dx = \frac{1}{2x} \, du}

Daí temos:

\displaystyle \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{x}{(x^2+1)^2} \, \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{x}{u^2} \cdot \frac{1}{2x} \, du } \\ \\ \\ \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{1}{2u^2} \, du } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{1}{2} \cdot \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du }

Continuando em outra linha:

\displaystyle \mathsf{ \frac{1}{2} \cdot \int_{-1}^{1} u^{-2} \, du } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2+1}}{-2+1} } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} } \\ \\ \\ \mathsf{ -\frac{1}{2} \cdot u^{-1} } \\ \\ \\ \mathsf{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u}} \\ \\ \\ \mathsf{-\frac{1}{2u}} \\ \\ \\ \mathsf{ -\frac{1}{2 \cdot (x^2+1)} \, \bigg|_{a \, = \, -1}^{b \, = \, 1} }

De acordo com o teorema:

\displaystyle \mathsf{\int_{a}^{b} f(x) \, \, dx = F(b) - F(a)}

Temos:

\displaystyle \mathsf{ -\frac{1}{2 \cdot (b^2+1)} - \bigg( -\frac{1}{2 \cdot (a^2+1)} \bigg) }  \\ \\ \\  \mathsf{ -\frac{1}{2 \cdot (1^2+1)} - \bigg( -\frac{1}{2 \cdot ((-1)^2+1)} \bigg) } \\ \\ \\ \mathsf{ -\frac{1}{4} - \bigg( -\frac{1}{4} \bigg) } \\ \\ \\ \mathsf{ -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}= \boxed{0 \, u.a} }
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