Question

Uma indústria de material elétrico encomendou uma pesquisa de mercado sobre uma de suas tomadas e descobriu que a cada real de aumento no preço unitário, a quantidade vendida reduziria em 25 unidades.
Sabendo que ao preço de R$ 10,00 a unidade são vendidas 500 tomadas desse tipo, para que a receita da venda dessas tomadas fique acima de R$ 5.600,00, o valor do aumento no preço de cada produto está entre:
a) 0,50 e 2 reais.
b) 1,50 e 3 reais.
c) 4 e 6 reais.
d) 6 e 8 reais.

Answer 1

Sendo

     •   R = receita;

     •   p = preço unitário;

     •   q = quantidade vendida,


temos que

     R = p ∙ q.


Inicialmente, a receita das vendas é

     R(0) = 10 ∙ 500

     R(0) = 5000 reais


Seja  x  o valor do aumento procurado para o preço unitário.

Se cada  1  real de aumento no preço unitário reduz  25  unidades da quantidade vendida, então teremos

     p(x) = 10 + x

     q(x) = 500 − 25x


e a receita em função desse aumento é

     R(x) = p(x) ∙ q(x)

     R(x) = (10 + x) ∙ (500 − 25x)


Para que a receita fique acima de  R$ 5600,00,  devemos ter

     R(x) > 5600

     (10 + x) ∙ (500 − 25x) > 5600

     5000 − 250x + 500x − 25x² > 5600

     5000 + 250x − 25x² > 5600

     25x² − 250x − 5000 + 5600 < 0

     25x² − 250x + 600 < 0

     25 ∙ (x² − 10x + 24) < 0

     x² − 10x + 24 < 0


Acima temos uma inequação do 2º grau. Podemos resolvê-la fatorando o lado esquerdo por agrupamento.

Reescreva  − 10x  como  − 4x − 6x:

     x² − 4x − 6x + 24 < 0

     x(x − 4) − 6(x − 4) < 0

     (x − 4)(x − 6) < 0


Temos acima uma inequação-produto. As raízes do lado esquerdo são

     x₁ = 4   e   x₂ = 6


Logo, a solução para a inequação é

     x₁ < x < x₂

     4 < x < 6


O valor do aumento no preço de cada produto está entre 4 e 6 reais.


Resposta: alternativa  c)  4 e 6 reais.


Bons estudos! :-)