Question

Assinale a alternativa correta: A) se u e v são L.I., então 2u – v e u + 3v são L.D. B) se u e v são L.I., então u, v e w são L.I., para todo w C) se u e v são L.D., então u, v e w são L.D., para todo w D) se u, v e w são L.D., então u e v são L.D. E) se u, v e w são L.D., então u e v são L.I.

Answer 1

Boa tarde!

a)
$\vec{u}$ e $\vec{v}$ são L.I.

Verificar se:
$2\vec{u}-\vec{v}$ e $\vec{u}+3\vec{v}$ são L.D.
$\left|\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\left|=6-(-1)=7$

Não, são L.I, ainda. Se fossem L.D o determinante teria dado zero.

Por exemplo, $2\vec{u}+6\vec{v}$ é L.D. com $\vec{u}+3\vec{v}$. Perceba que os vetores são proporcionais entre si!

b)
Sendo $\vec{u}$ e $\vec{v}$ L.I. o terno $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ será L.I. desde que $\vec{w}$ não esteja no mesmo plano formado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

c)
Sendo $\vec{u}$ e $\vec{v}$ L.D. o terno $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ será L.D. desde que $\vec{w}$ seja proporcional a $\vec{u}$ ou $\vec{v}$.

d)
Não obrigatoriamente. Pode-se ter 3 vetores L.D. sendo que 2 deles formam a 'base' para este terceiro, ou seja, são L.I. entre si.

e)
Não obrigatoriamente, também. Podemos ter $\vec{v}$ e $\vec{w}$ como L.I., e $\vec{u}$ paralelo (proporcional) a $\vec{v}$, o par $\vec{u}$ e [tex/]\vec{v}[/tex] será L.D.

Espero ter ajudado!