Question

Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo

Answer 1

Primeiro passo, desenhe um triangulo equilatero, desenhe um retangulo dentro dele.

Ps: O desenho nao precisa ser bonito.

Agora, vamos determinar o dominio:
Não existe medida negativa, e uma área igual a 0 iria ser problematica para nos. E, também, a medida não pode passar de 4cm, ja que esse é o tamanho maximo do lado do triangulo, então:

Dom = {x∈R | 0<x≤4}

Agora, vamos dar nome aos trem:

1) Os lados do triangulo serão "k".
2) A parte de baixo do retangulo (que encosta na "base" do triangulo) será "L".
3) A diferença entre "k" e "L" serão os "x" (na base tem um "x" do lado esquerdo e outro do lado direito").
4) Para achar a relação da altura, vamos calcular a altura do triangulo retangulo maior:

$y^{2}=h_{M}^{2}+c^{2} \\ \\ h_{M}^{2}=16-4 \\ \\ h_{M}= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Agora, vamos fazer relação de triangulos, com a altura e a base, do triangulo maior com a do triangulo menor.

$\frac{h_{M}}{2}= \frac{h_{m}}{x} \\ \\ h_{m}= \frac{2x \sqrt{3} }{2} \\ \\ h_{m}=x\sqrt{3}$

E só isso...

Agora vamos escrever a formula da área do retângulo, afinal, é isso que queremos:

$Ar=L*h$

Mas só com isso não da pra fazer nada nessa "jossa", concordo, mas o problema nos deu uma outra equação, que depois do nosso momento "Picasso" (que a gente desenhou ai)... Ela é que, a soma do lado do retangulo com os "x" da base é igual a 4:

$L+2x=4 \\ \\ logo \\ \\ L=4-2x$

Substituindo isso no calculo da area do retângulo, temos:

$Ar=(4-2x)*x\sqrt{3}$

Agora vamos desenvolver essa lindeza e derivar:

$Ar=(4-2x)*x\sqrt{3} \\ \\ Ar=4x\sqrt{3} - 2x^{2}\sqrt{3} \\ \\ derivando \\ \\ (Ar)'=4\sqrt{3}*(x)' - 2\sqrt{3}*(x^{2})' \\ \\ (Ar)'=4\sqrt{3}*1 - 2\sqrt{3}*2x \\ \\ (Ar)'= 4\sqrt{3}-4x\sqrt{3} \\ \\ (Ar)'= 4\sqrt{3}(1-x)$

Proximo passo é igualar a derivada de "Ar" á "0", para determinar o possivel ponto máximo:

$(Ar)'= 4\sqrt{3}(1-x) \\ \\ 0=4\sqrt{3}(1-x) \\ \\ (1-x)=0 \\ \\ x=1cm$

Só falta analisar se x=1 é ponto máximo:

Para x<1: Os valores da F(x) são positivos.
Para x=1: O valor de F(x) é zero.
Para x>1: O valor de F(x) é negativo. 

Logo x=1  é ponto máximo e a área máxima do retangulo é:

$Ar=(4-2x)*x\sqrt{3} \\ \\ Ar=(4-2*1)*1\sqrt{3} \\ \\ Ar=2\sqrt{3}$

Answer 2

A resolução que encontrei foi sobrepondo o triangulo equilátero no plano cartesiano, de modo que a altura coincida com o eixo das ordenadas, conforme a figura anexada.

Ao colocar o triangulo no plano cartesiano, vamos lembrar que a altura do triangulo é perpendicular a base, por tanto a divide em metades iguais, PORÉM devemos corrigir o sinal, pois metade do triangulo está no 2 quadrante, assim a distância do ponto zero ao vértice da aresta do triangulo é 2 e 2, com a correção do sinal temos os pontoa (-2,0) e (2,0).

Assim, trocamos as arestas por uma reta decrescente da função pologonal do 1 grau, a qual intercepta o eixo Y na altura do triangulo equilátero.

Como o lado é 4, basta substituir:

$Hte=\frac{l\sqrt{3} }{2}$

$Hte=\frac{4\sqrt{3} }{2} \\Hte=\frac{2\sqrt{3} }{1}$

Assim, a reta intercepta o eixo Y no ponto  sendo esse o coenficiente "b".

Para achar a função, vamos utilizar o outro ponto, (2,0), no qual a reta intercepta o eixo das abcissas, ou seja, é a raiz.

F(x)=a.x+b

F(x)=a.x+$2\sqrt{3}$

(2,0)

0=a2+$2\sqrt{3}$

a=-$\sqrt{3}$

F(x)=-$\sqrt{3}$*x +$2\sqrt{3}$

Então, para saber os lados do retangulo com área máxima, preciso escrevê-lo dentro do triangulo, assim percebemos que a altura do triangulo( ponto no eixo Y) também divide a base do retângulo em metades, por causa da simetria entre os planos cartesianos, assim se acharmos o lado do maior retângulo dentro do triângulo do 1 qudrantre, achamos o lado do 2 quadrante pela simetria. A altura é igual para dos dois, como demosntra na imagem.

Ar= b.h

Ar=x.y

Ar= x.(-$\sqrt{3}$*x +$2\sqrt{3}$)

Ar=$-\sqrt{3}x^{2} +2\sqrt{3} x$

Como ele diz que a área é a máximo, temos que pensar no ponto do vértice(Xv, Yv), considerando o y=Ar, logo o Armax é o Ymax, quando o Xmax também for, então vamos achar o Xv

$Xv=\frac{-b}{2a}\\ Xv=\frac{-2\sqrt{3}}{2(-\sqrt{3})}\\ Xv=1$

Logo, Xv=1, por simetria a outra parte é -1.

Vamos achar o outro lado, ou melhor a altura do retângulo: H=Y=(-$\sqrt{3}$*x +$2\sqrt{3}$), logo H=Y=$\sqrt{3}$

Ao transceder o retângulo para fora do equilátero e do plano cartesiano, percebemos que o L1=2 e L2=    $\sqrt{3}$    .

*Imagem, em anexo para apio.