Question

determine a soma dos doze primeiro termo da P.A (9,4,-1,...)

Answer 1

Primeiro vamos calcular o valor do último termo (a12).

Fórmula: an = a1 + (n - 1).r

an = a12 = ??
a1 = 9
n = 12
r = -5

a12 = 9 + (12 - 1).(-5)
a12 = 9 + 11.(-5)
a12 = 9 - 55
a12 = -46

Agora aplicamos a fórmula da soma da PA:

Sn = (a1 + an).n/2

S12 = (9 + (-46)).12/2
S12 = -37.12/2
S12 = -444/2
S12 = -222

A soma dos doze termos é -222.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Darlene, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a soma dos 12 primeiros termos da seguinte PA:

(9; 4; -1; ......)

Note que se trata de uma PA decrescente, cujo primeiro termo (a₁) é igual a "9" e cuja razão (r) é igual a "-5", pois a razão "r" de uma PA é obtida pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Veja como isso é verdade:

r =   -1- 4 = 4 - 9 = -5

ii) Vamos, primeiro encontrar qual é o 12º termo (a₁₂) desta PA, pois estamos querendo a soma dos seus 12 primeiros termos. Note que encontraremos o seu valor pela fórmula do termo geral, que é dada da seguinte forma:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₁₂", pois queremos o valor do 12º termo. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "9", que é o valor do 1º termo. Por seu turno, substituiremos "n" por "12", pois estamos querendo encontrar o 12º termo. E, finalmente, substituiremos "r" por "-5", que é o valor da razão da PA. Assim, fazendo essas substituições na fórmula acima, teremos:

a₁₂ = 9 + (12-1)*(-5)
a₁₂ = 9 + (11)*(-5) ---- note que 11*(-5) = -55. Assim:
a₁₂ = 9 - 55 ---- veja que "9-55 = -46". Logo:
a₁₂ = - 46 <--- Este é o valor do 12º termo (a₁₂).

iii) Agora vamos para a soma dos 12 primeiros termos desta PA. Para isso, aplicaremos a fórmula:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S₁₂", pois estamos procurando a soma dos 12 primeiros termos da PA. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "9", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "an" por "a₁₂", que já vimos que é igual a "-46". E, finalmente, substituiremos "n" por "12", pois estamos procurando a soma dos 12 primeiros termos da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S₁₂ = (9 + (-46))*12/2 ---- desenvolvendo, temos:
S₁₂ = (9 - 46)*12/2 --- como "9-46 = -37", teremos:
S₁₂ = (-37)*12/2 ----- e como 12/2 = 6, teremos:
S₁₂= -37*6 ----- note que este produto dá exatamente igual a "´222". Logo:
S₁₂ = - 222 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a soma pedida dos 12 primeiros termos da PA da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por uma mera curiosidade, vamos ver quais será essa PA com os seus 12 primeiros termos. Assim, como já temos a razão (r = -5), então encontraremos todos os demais termos a partir do primeiro termo (a₁ = 9). Veja:

a₁ = 9
a₂ = 9+(-5) = 9-5 = 4
a₃ = 4+(-5) = 4-5 = -1
a₄ = -1+(-5) = -1-5 = -6
a₅ = -6+(-5) = -6-5 = -11
a₆ = -11+(-5) = -11-5 = -16
a₇ = -16+(-5) = -16-5 = -21
a₈ = -21+(-5) = -21-5 = -26
a₉ = -26+(-5) = -26-5 = -31
a₁₀ = -31+(-5) = -31-5 = -36
a₁₁ = -36+(-5) = -36-5 = -41
a₁₂ = -41+(-5) = -41-5 = -46 <-- Olha aí como o 12º termo é -46 realmente.

Se tiver em dúvida que a soma não daria o que encontramos (S₁₂ = -222), então é só fazer a soma de todos esses 12 termos "na mãozona" e ver como  é verdade que a soma dará exatamente igual a "-222", ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem:

OK?
Adjemir.