Question

Na Figura ABC é um triangulo equilatero e lado 3,e a reta PA, é paralela a reta BC.Sabendo que PQ=QR=RS,ENTÃO O COMPRIMENTI DO SEGMENTO CS é igual a

Answer 1

Olá.

 

Nessa questão tem de se fazer algumas ponderações para se chegar no valor de CS. Para isso, sugiro que seja feito um desenho rascunho para melhor compreensão da questão. Todo modo, em anexo adicionei uma imagem para facilitar a compreensão.

 

Foi-nos dito que $\mathsf{\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}}$. Com base nisso, na imagem em anexo coloquei um x em cada um dos seguimentos supracitados.

 

Foi-nos dito que o triângulo ABC (representarei como ΔABC) é equilátero. Recebem o nome de triângulos equiláteros todos aqueles que tem os seus 3 ângulos e seus 3 lados iguais. Além disso, a soma dos ângulo internos de um triângulo é 180°. Sabendo disso, podemos encontrar o valor dos ângulos (que chamarei de α) desse triângulo apenas dividindo 180° por 3. Teremos:

 

$\mathsf{\alpha=\dfrac{180^{\circ}}{3}}\\\\\\ \mathsf{\alpha=60^{\circ}}$

 

Sabendo o valor do ângulo alfa, podemos encontrar mais dois ângulos, que serão fundamentais para o desenvolvimento.

 

- Do lado do ângulo alfa do canto inferior direito, no vértice C, podemos traçar um outro ângulo (que chamarei de θ). Como α e θ estão do mesmo lado, juntos, podemos afirmar que são suplementares, logo, sua soma vale 180°. Sabendo disso, podemos encontrar um valor para θ. Teremos:

 

$\mathsf{\alpha+\theta=180^{\circ}}\\\\ \mathsf{60^{\circ}+\theta=180^{\circ}}\\\\ \mathsf{\theta=180^{\circ}-60^{\circ}}\\\\ \mathsf{\theta=120^{\circ}}$

 

Agora, vamos fazer algumas análises. No ponto R entre os triângulos, podemos falar que tem dois ângulos iguais, que no anexo eu chamei de β.

 

No ponto A, temos 3α. Dentro do ΔPAR, temos 2α (que são iguais a θ) e um β, da mesma forma que tem o ΔSCR. Como eles tem ângulos iguais, podemos afirmar que são semelhantes.

 

Estando ciente da semelhança, podemos fazer equiparações.

 

Como a base do ΔPAR (que vale 2x) é o dobro da base do ΔSCR (que vale x), podemos afirmar que ΔPAR tem suas medidas iguais ao dobro do ΔSCR. Com isso, podemos afirmar que:

 

PR = 2RS

AR = 2RC

PA = 2CS

 

Como AC é um lado do triângulo equilátero (que vale 3), podemos afirmar que AR + RC = 3, ou 2RC + RC = 3. Com isso, teremos:

 

$\mathsf{2RC+RC=3}\\\\ \mathsf{3RC=3}\\\\ \mathsf{RC=\dfrac{3}{3}}\\\\ \mathsf{RC=1}$

 

- Por semelhança de triângulos (no caso ΔPAQ e ΔAQR), podemos afirmar que no ponto P também tem uma ângulo β. Por consequência disso, podemos afirmar que ΔPAQ é isósceles, logo, ΔAQR também.

 

Os lados iguais em ΔPAQ são PA e AR, enquanto em ΔAQR os lados iguais são RC e CS. Com base nisso, podemos concluir que CS mede 1 u.c. (unidade e medida).

 

Resposta correta: CS = 1 u.c.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$