Question

A equação da reta tangente à curva y = raiz de x, que seja paralela à reta 8x - 4y +1 = 0 é dada por?

Answer 1

Vamos derivar a curva:

$\displaystyle \mathsf{y=\sqrt{x}} \\ \\ \mathsf{y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

Rearranjar a equação da reta dada:

$\displaystyle \mathsf{8x-4y+1=0} \\ \\ \mathsf{-4y=-8x-1} \\ \\ \mathsf{4y=8x+1} \\ \\ \mathsf{y=2x+\frac{1}{4}}$

Perceba que m = 2. Daí só teremos que igualar a curva derivada ao coeficiente angular m que encontramos, para tentar achar o ponto onde a reta que procuramos é tangente à curva.

$\displaystyle \mathsf{\frac{1}{2\sqrt{x}}=2} \\ \\ \\ \mathsf{ 1 = 4 \sqrt{x} } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{1}{4} = \sqrt{x} } \\ \\ \\ \mathsf{x = \bigg( \frac{1}{4} \bigg)^2 } \\ \\ \\ \mathsf{x=\frac{1}{16}}$

Se x = 1/16 então y será:

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\sqrt{x}} \\ \\ \\ \mathsf{f(\frac{1}{16}) = \sqrt{\frac{1}{16}}} \\ \\ \\ \mathsf{f(\frac{1}{16}) = \frac{1}{4}}$

Agora já podemos montar a equação da reta tangente com os dados em mãos.

$\displaystyle \mathsf{y-y_{o}=m \cdot (x-x_{o})} \\ \\ \\ \mathsf{y-\frac{1}{4}= 2 \cdot (x-\frac{1}{16})} \\ \\ \\ \mathsf{y-\frac{1}{4}=2x-\frac{1}{8}} \\ \\ \\ \mathsf{y=2x-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}} \\ \\ \\ \mathsf{y=2x+\frac{1}{8}} \\ \\ \\ \mathsf{y=\frac{16x+1}{8}} \\ \\ \\ \mathsf{-16x+8y-1=0}$