Question

Como se resolve esses problemas ??



A)
${3}^{ log_{3}5 }$
B)
$log_{7} \: {7}^{ - 3} + 5 {}^{ log_{5}\ \: 4}$

C)
${5}^{2 - log_{5}4 } + {9}^{ log_{3}2 }$
D)
${2}^{1 + log_{2}5} - log_{3} {3}^{4}$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rossana, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

Note que as expressões logarítmicas da sua questão envolvem uma propriedade logarítmica do seguinte tipo:

a^(logₐ (N)) = N, ou seja, se temos um número "a" que está elevado ao logaritmo de "N" na base "a", então o valor da expressão será igual ao logaritmando "N".

Portanto, tendo a propriedade acima como parâmetro, então vamos resolver as equações logarítmicas da sua questão aplicando essa propriedade. Vamos chamar cada expressão da sua questão de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa. Assim teremos:

a)

y = 3^(log₃ (5)) ---- aplicando a propriedade vista antes, temos que o valor dessa expressão logarítmica será igual ao logaritmando "5". Logo:

y = 5 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b)

y = log₇ (7⁻³) + 5^(log₅ (4)) ---- na primeira expressão vamos passar o expoente "-3" multiplicando o respectivo logaritmo, ficando:

y = -3*log₇ (7) + 5^(log₅ (4))

Agora note:
 log₇ (7) = 1 (sempre que a base é igual ao logaritmando o resultado é "1")
e
5^(log₅ (4)) = 4 --- (aplicação da propriedade que vimos antes).

Assim, a expressão "y" do item "b" será esta:

y = -3*1 + 4
y = - 3 + 4 ---- como "-3+4 = 1", teremos:
y = 1 <--- Esta é a resposta para o item "b".

c)

y = 5^(2-log₅ (4)) + 9^(log₃ (2))

Agora veja isto:

- o "2" que é expoente do primeiro fator (5^(2-log₅ (4)) poderá ser substituído por: log₅ (5²), pois isto dá igual a "2". Então como 5² = 25, então ficaríamos assim no lugar do "2": log₅ (25). Assim, substituindo, teremos:

y = 5^(log₅ (25) - log₅ (4)) + 9^(log₃ (2))

Agora note que o expoente log₅ (25) - log₅ (4) poderá ser transformado em divisão (que é uma propriedade logarítmica: a subtração de logaritmos equivale à divisão). Logo, ficaremos com

y = 5^(log₅ (25/4) + 9^(log₃ (2) ---- veja que 9 = 3². Assim, substituindo, teremos:

y = 5^(log₅ (25/4) + (3²)^(log₃ (2) ---- veja que isto é a mesma coisa que:
y = 5^(log₅ (25/4) + 3^(2log₃ (2)) ---- passando o "2" como expoente, temos:
y = 5^(log₅ (25/4) + 3^(log₃ (2²) --- como 2² = 4, ficaremos com:
y = 5^(log₅ (25/4) + 3^(log₃ (4) ---- aplicando a propriedade vista antes, teremos:

y = 25/4 + 4 ----- mmc = 4. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

y = (1*25 + 4*4)/4
y = (25 + 16)/4
y = (41)/4 --- ou apenas:
y = 41/4 <--- Esta é a resposta para o item "c".

d)

y = 2^(1+log₂ (5)) - log₃ (3⁴) ---- passando o expoente "4' multiplicando o respectivo log, teremos:

y = 2^(1+log₂ (5)) - 4log₃ (3)

Agora veja que o "1", que está como expoente em 2^(1+log₂ (5)) poderá ser substituído por log₂ (2), pois isto é igual a "1". Então vamos substituir, ficando:

y = 2^(log₂ (2)+log₂ (5)) - 4log₃ (3) ---- vamos transformar a soma de logaritmos, que está no expoente do "2", em produto. Com isso, ficaremos assim:

y = 2^(log₂ (2*5) - 4log₃ (3)
y = 2^(log₂ (10) - 4log₃ (3)

Agora veja que:
2^(log₂ (10)) = 10 --- (aplicando aquela propriedade já vista antes)
e
log₃ (3) = 1, pois a base é igual ao logaritmando.
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

y = 10 - 4*1
y = 10 - 4
y = 6 <--- Esta é a resposta para o item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.