Question

Encontre todos os vetores que fazem um angulo de π/3 com (1, 0, 0)

Answer 1

Olá, apenas acompanhe:

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|| \vec{u} || \cdot || \vec{v} ||} \\ \\ \\ \frac{1}{2} = \frac{(a,b,c) \cdot (1,0,0)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}} \\ \\ \\ \frac{1}{2} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ \\ \\ \bigg( \frac{1}{2} \bigg)^2 = \bigg( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \bigg)^2 \\ \\ \\ \frac{1}{4} = \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Continuando em outra linha:

$\displaystyle a^2+b^2+c^2=4a^2$

Pronto, encontramos uma fórmula para encontrar todos os vetores que formam um ângulo de 60º com o vetor (1,0,0).

Por exemplo, se supormos que a = 3 e b = 4, então o valor de c será:

$a^2+b^2+c^2=4a^2 \\ \\ 3^2+4^2+c^2=4 \cdot 3^2 \\ \\ 25+c^2=36 \\ \\ c^2=11 \\ \\ c=\sqrt{11}$

Daí um dos vetores procurados será:

$\vec{a} = ( \, \, 3 \, ,4,\sqrt{11} \, \, )$

Sacou a ideia? através da fórmula, dando valores aleatórios para a e b poderá encontra c em função, e daí, encontrar qualquer vetor que forma um ângulo de 60º com (1,0,0).