Question

uma biologa observou o verme e seu crescimento. os dados foram tabulados na tabela: hora de vida ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) peso (g) (3, 6, 8, 9, 12,15). qual o valor encontrado para o coeficiente angular da reta

Answer 1

Queremos encontrar o coeficiente angular da reta que melhor se ajusta aos dados observados, seguindo critério de minimização da soma dos quadrados dos resíduos

Se possuirmos $n$ observações $(x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2}),\,...,\,(x_{n},y_{n})$ com $x_{i}\neq x_{j}$ para pelo menos um par $(i,j)$, temos que os coeficientes angular e linear da reta de mínimos quadrados são dados, respectivamente, por

$a=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar x)^{2}},\,\,\,b=\bar y-a\bar x$

Podemos simplificar a fórmula do coeficiente angular para

$a=\displaystyle\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n\bar x\bar y}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar x^{2}}$

onde

$\bullet\,\,\bar x=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}$ é a média dos valores observados da variável x (tempo)

$\bullet\,\,\bar y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}$ é a média dos valores observados da variável y (massa do verme)
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Vamos encontrar a média de x e y observadas:

$\bar x=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}$

$\bar y=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}y_{i}=\dfrac{1}{6}(3+6+8+9+12+15)=\dfrac{53}{6}$

Agora, encontraremos $\sum_{i=1}^{6}x_{i}y_{i}$:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{6}y_{6}=\\\\\\=(1\cdot3)+(2\cdot6)+(3\cdot8)+(4\cdot9)+(5\cdot12)+(6\cdot15)=\\\\\\=3+12+24+36+60+90=\\\\\\=225$

Finalmente, encontraremos $\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}$:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{6}i^{2},\,\,\mathsf{pois\,x_{i}=i\,para\,todo\,i}$

Usando que $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, temos que

$\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=\dfrac{6(6+1)(2\cdot6+1)}{6}=(6+1)(2\cdot6+1)=7\cdot13=91$
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Agora somos capazes de achar o coeficiente angular da reta:

$a=\displaystyle\dfrac{\sum_{i=1}^{6}x_{i}y_{i}-6\bar x\bar y}{\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-6\bar x^{2}}=\dfrac{225-6\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{53}{6}}{91-6\cdot(\frac{7}{2})^{2}}\\\\\\a=\dfrac{225-53\cdot\frac{7}{2}}{91-6\cdot\frac{49}{4}}\\\\\\a=\dfrac{225-\frac{371}{2}}{91-\frac{147}{2}}\\\\\\a=\dfrac{(\frac{79}{2})}{(\frac{35}{2})}\\\\\\a=\dfrac{79}{2}\cdot\dfrac{2}{35}\\\\\\\boxed{\boxed{a=\dfrac{79}{35}\approx2,257143}}$