Question

Dúvida sobre inequação exponencial:

$3^{2x+2} - 3^{x+3} \geq 3^{x} -3$

Ajuda pf!!

Answer 1

Resolver a inequação exponencial:

     $3^{2x+2}-3^{x+3}\ge 3^x-3$


Vamos manipular as expressões usando propriedades da potenciação:

     $3^{2x}\cdot 3^2-3^x\cdot 3^3\ge 3^x-3\\\\ (3^x)^2\cdot 9-3^x\cdot 27\ge 3^x-3\\\\ 9\cdot (3^x)^2-27\cdot 3^x-3^x+3\ge 0\\\\ 9\cdot (3^x)^2-28\cdot 3^x+3\ge 0$


Para facilitar, faça uma mudança de variável:

     $3^x=t\qquad(t>0)$


e a inequação fica

     $9t^2-28t+3\ge 0$


Temos acima uma inequação do 2º grau, cujos coeficientes são

     $a=9;~~b=-28;~~c=3.$


Encontrando as raízes da função quadrática associada:

     $\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-28)^2-4\cdot 9\cdot 3\\\\ \Delta=784-108\\\\ \Delta=676\\\\ \Delta=26^2$


As raízes são

     $\begin{array}{rcl}t_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ t_1=\dfrac{-(-28)-\sqrt{26^2}}{2\cdot 9}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{-(-28)+\sqrt{26^2}}{2\cdot 9}\\\\ t_1=\dfrac{28-26}{18}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{28+26}{18}\\\\ t_1=\dfrac{2}{18}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{54}{18}\\\\ t_1=\dfrac{1}{9}&\textsf{ e }&t_2=3 \end{array}$


Como o coeficiente quadrático  $a=9>0$  (é positivo), então a solução para a inequação do 2º grau é

     $\begin{array}{rcl}t\le t_1&\textsf{ ou }&t\ge t_2\\\\ t\le\dfrac{1}{9}&\textsf{ ou }&t\ge 3 \end{array}$


Voltando à variável  $x:$

     $\begin{array}{rcl} 3^x\le\dfrac{1}{9}&\textsf{ ou }&3^x\ge 3\\\\ 3^x\le\dfrac{1}{3^2}&\textsf{ ou }&3^x\ge 3^1\\\\ 3^x\le 3^{-2}&\textsf{ ou }&3^x\ge 3^1\end{array}$


Agora temos desigualdades entre exponenciais de mesma base, e a base é  $3.$

Como  $3>1,$  os sentidos das desigualdades se mantêm para os expoentes. Então,

     $\begin{array}{rcl} x\le -2&\textsf{ ou }&x\ge 1\end{array}$   ⟵   solução.


Conjunto solução:

     $S=\{x\in\mathbb{R}:~~x\le -2~~\textsf{ ou }~~x\ge 1\}$


ou em notação de intervalos,

     $S=\left]-\infty,\,-2\right]\cup \left[1,\,+\infty\right[.$


Bons estudos! :-)