Question

Na reta numérica da figura a seguir, temos o segmento PR dividido em cinco segmentos congruentes, ou seja, PA = AB = BC = CD = DR . Se os pontos A e D representam os números 1 /2 e 7/ 4 , respectivamente, então o ponto R representa o número
a) 12/ 5
b) 10 /3
c) 7/ 3
d) 14/ 5
e) 13/ 6

Answer 1

Olá.

 

Por meio de pesquisas encontrei o enunciado completo e adiciono-o em anexo.

 

Para resolver essa questão podemos montar uma P.A (progressão aritmética).

 

Sendo a diferença entre os pontos (letras) iguais, podemos declarar que cada um desses representam um termo da P.A. Agrupando todos, podemos definir a P.A da seguinte maneira:

 

$\left\{\begin{matrix} a_1&=&P\\\\ a_2&=&A&=&\dfrac{1}{2}\\\\ a_3&=&B\\\\ a_4&=&C\\\\ a_5&=&D&=&\dfrac{7}{4}\\\\ a_6&=&R \end{matrix}\right.$

 

Como não temos nem o primeiro termo nem a razão dessa P.A, temos que adquirir o sexto termo a partir de manipulações algébricas. Como temos o segundo e o quinto termo, podemos manipula-los, primos fazendo sua soma e depois sua diferença.

 

Vale lembrar a composição desses termos, baseando no termo geral. Tem-se:

 

$\left\{\begin{matrix} a_2=a_1+r\\\\ a_5=a_1+4r \end{matrix}\right.$

 

Usando isso, podemos desenvolver inicialmente a soma desses termos, com intuito de isolar uma valor para o primeiro termo. Teremos:

 

$a_2+a_5=\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{4}\\\\\\ (a_1+r)+(a_1+4r)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{2}+\dfrac{7}{4}\\\\\\ a_1+r+a_1+4r=\dfrac{2}{4}+\dfrac{7}{4}\\\\\\ 2a_1+5r=\dfrac{2+7}{4}\\\\\\ 2a_1+5r=\dfrac{9}{4}\\\\\\ 2a_1=\dfrac{9}{4}-5r\\\\\\ a_1=\left(\dfrac{9}{4}-5r\cdot\dfrac{4}{4}\right)\div2\\\\\\ a_1=\left(\dfrac{9}{4}-\dfrac{20r}{4}\right)\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\ a_1=\left(\dfrac{9-20r}{4}\right)\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\ a_1=\dfrac{9-20r}{8}\\\\ a_1=\left(9-20r\right)\div8$

 

Tendo isolado um valor para o primeiro termo, podemos desenvolver a diferença do segundo e o quinto termo, com o intuito de ter uma valor para a razão. Teremos:

 

$a_2-a_5=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{4}\\\\\\ (a_1+r)-(a_1+4r)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{2}-\dfrac{7}{4}\\\\\\ a_1+r-a_1-4r=\dfrac{2}{4}-\dfrac{7}{4}\\\\\\ -3r=\dfrac{2-7}{4}\\\\\\ -3r=\dfrac{-5}{4}\\\\\\ r=\left(\dfrac{-5}{4}\right)\div(-3)\\\\\\ r=\left(\dfrac{-5}{4}\right)\cdot\dfrac{1}{-3}\\\\\\ r=\dfrac{-5}{-12}=\dfrac{5}{12}$

 

Tendo o valor da razão, podemos encontrar o valor do primeiro termo ao substituir a razão no valor isolado do primeiro termo. Teremos:

 

$a_1=(9-20r)\div8\\\\ a_1=\left(9\cdot\dfrac{12}{12}-20\left(\dfrac{5}{12}\right)\right)\div8\\\\\\ a_1=\left(\dfrac{108}{12}-\left(\dfrac{100}{12}\right)\right)\cdot\dfrac{1}{8}\\\\\\ a_1=\left(\dfrac{108-100}{12}\right)\cdot\dfrac{1}{8}\\\\\\ a_1=\left(\dfrac{8}{12}\right)\cdot\dfrac{1}{8}\\\\\\ a_1=\dfrac{8}{12\cdot8}\\\\\\ a_1=\dfrac{1}{12}$

 

Agora, podemos calcular o valor do sexto termo a partir de sua forma fatorada. Vamos aos cálculos.

 

$a_6=a_1+5r\\\\ a_6=\dfrac{1}{12}+5\left(\dfrac{5}{12}\right)\\\\\\ a_6=\dfrac{1}{12}+\dfrac{25}{12}\\\\\\ a_6=\dfrac{26}{12}$

 

Essa fração é redutível por 2, logo, podemos dividir o numerador e o denominador por 2. Teremos:

 

$a_6=\dfrac{26^{:2}}{12^{:2}}=\boxed{\dfrac{13}{6}}$

 

Com isso, podemos concluir que a resposta correta está na alternativa E.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$