Question

URGENTE!
(UEPG) Sabendo que i igual a raiz de −1 , assinale as proposições corretas.

01. 1 + i + i^2 + i^3 ...... + i^400 = 1

02. Se 2i é uma raiz da equação x^4 + bx^2 = 0, então b = 4

04. Para que z =2 + ai/1 - i, seja um número real, a = –2

08. O termo médio do desenvolvimento do binômio (2i + 1)^4 vale –24
16. O argumento do complexo z = 1 − i é 4/7π rad

Answer 1

01. Correta

Lembre-se que:

$i^2=-1~~~~~~~~i^3=-i~~~~~~~~i^4=1$

Assim, $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$

Na verdade, isso acontece a cada $4$ potências consecutivas de $i$, pois:

$i^{4n}=1~~~~~~i^{4n+1}=i~~~~~~~i^{4n+2}=-1~~~~~~i^{4n+3}=-i$

Como $400$ é divisível por $4$, podemos dividir $i+i^2+i^3+\dots+i^{400}$ em $400\div4=100$ quádruplas, todas com soma zero.

Logo, $1+i+i^2+i^3+\dots+i^{400}=1+\underbrace{0+0+0+\dots+0}_{100~\text{zeros}}=1$


02. Correta

$x^4+bx^2=0$

$(2i)^4+b\cdot(2i)^2=0~\longrightarrow~2^4i^4+b^2\cdot2^2\cdot i^2=0$

$16\cdot1+b^2\cdot4\cdot(-1)=0~\longrightarrow~16-4b=0$

$4b=16~\longrightarrow~b=\dfrac{16}{4}~\longrightarrow~b=4$


04. Correta

$z=\dfrac{2+ai}{1-i}=\dfrac{2+ai}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{2+ai+2i+ai^2}{1^2-i^2}$

$z=\dfrac{2+a\cdot(-1)+ai+2i}{1-(-1)}=\dfrac{2-a+(a+2)\cdot i}{1+1}=\dfrac{2-a}{2}+\dfrac{(a+2)\cdot i}{2}$

Se $z$ é real, a sua parte imaginária deve ser nula, ou seja:

$(a+2)\cdot i=0~\longrightarrow~a+2=0=0~\longrightarrow~a=-2$


08. Correta

$(2i+1)^{4}$

O termo médio é $\dbinom{4}{2}\cdot(2i)^2\cdot1^2=6\cdot4i^2\cdot1=6\cdot4\cdot(-1)=-24$


16. Correta

$z=1-i$

$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\text{cos}~\theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\text{sen}~\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Como $\text{cos}~\theta>0$ e $\text{sen}~\theta<0$, podemos afirmar que esse ângulo pertence ao quarto quadrante.

$\theta=360^{\circ}-45^{\circ}~\longrightarrow~\theta=315^{\circ}$, ou seja, $\theta=\dfrac{315^{\circ}\pi}{180^{\circ}}=\dfrac{7\pi}{4}~\text{rad}$

Logo, $\arg(z)=\dfrac{7\pi}{4}~\text{rad}$