Question

Como resolver integral de 2x-3/(x-1)^3 dx?

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Resolver a integral:

$\mathsf{\displaystyle\int~\dfrac{2x-3}{(x-1)^{3}}}~\mathsf{dx}}$

Para essa integral aplicaremos para o integrando as frações parciais, observe:

$\mathsf{\displaystyle\int~\dfrac{2x-3}{(x-1)^{3}}}~\mathsf{dx}}\\ \\ \\ \\ \mathsf{\displaystyle\int~\left(\dfrac{2}{(x-1)^{2}}-\dfrac{1}{(x-1)^{3}}}\right)}~\mathsf{dx}}}$

Usando a integral para a soma e retirando as constantes, teremos

$\mathsf{\displaystyle\int~\left(\dfrac{2}{(x-1)^{2}}-\dfrac{1}{(x-1)^{3}}}\right)}~\mathsf{dx}}}\\ \\ \\ \\ \mathsf{2~\cdot~\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-1)^{2}}~dx-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-1)^{3}}}~\mathsf{dx}}$

Para o integrando $\mathsf{\dfrac{1}{(x-1)^{2}}}$ substituímos u = x - 1 e du = dx:

$\mathsf{2~\cdot~\displaystyle\int~\dfrac{1}{(u)^{2}}~du-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-1)^{3}}}~\mathsf{dx}}\\ \\ \\ \\ \mathsf{-\dfrac{2}{u}-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-1)^{3}}~dx}}$

Para o integrando $\mathsf{\dfrac{1}{(x-1)^{3}}}$ substituímos t = x - 1 e dt = dx:

$\mathsf{-\dfrac{2}{u}-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(t)^{3}}~dt}}$

A integral de $\mathsf{\dfrac{1}{t^{3}}}$ é $\mathsf{-\dfrac{1}{2t^{2}}}$:

$\mathsf{-\dfrac{2}{u}-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(t)^{3}}~dt}}\\ \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{1}{2t^{2}}-\dfrac{2}{u}}+\mathsf{C}}$

Desfazendo a substituição para a variável "t" e para a variável "u", teremos:

$\mathsf{\dfrac{1}{2(x-1)^{2}}-\dfrac{2}{x-1}}+\mathsf{C}}$

Simplificando:

$\mathsf{\dfrac{1}{2(x-1)^{2}}-\dfrac{2}{x-1}}+\mathsf{C}}\\ \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{5-4x}{2(x-1)^{2}}}}+\mathsf{C}}$

Ou seja, podemos afirmar que a solução da integral dada é:

$\Large\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{5-4x}{2(x-1)^{2}}+\mathbf{C}}}}}}}}}}~~\checkmark}}$

Espero que te ajude (^.^)