Question

um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão -5. determine o número de vértices do poliedro.

Answer 1

Olá!

Vamos usar a Relação de Euler para resolver este problema. Ela é usada para determinar o número de arestas, vértices e faces de um poliedro convexo. Veja sua formula: 

        A = V + F – 2

Onde:

        A = Número de arestas;
        V = Número de vértices;
        F = Número de faces;

O número total de faces (F) é igual ao número de faces triangulares e quadrangulares:
 
        F = T + Q 

Substituindo na Relação de Euler:

        A = V + T + Q – 2

Do enunciado temos a seguinte Progressão Aritmética (PA) de razão -5.

        PA = (A, T, Q) 

Onde:

         A = Número de arestas;
         T = Número de faces triangulares;
         Q = Número de faces quadrangulares;

Da definição de PA, o termo seguinte é igual ao termo anterior mais a razão, exceto o primeiro termo. Portanto:

         
         T = A – 5 
         Q = T - 5 = A - 5 - 5 = A – 10 

Cada face triangular tem 3 arestas e cada face quadrangular possui 4 arestas.
Como tem arestas repetidas divide-se o total de arestas por 2:

$A = \frac{3T+4Q}{2}$
 
Substituindo o valor de Q e T:

$A = \frac{3(A-5)+4(A-10)}{2}$
$2A = 3A - 15 + 4A - 40$
$A = 11$

Substituindo a quantidade de aresta na Relação de Euler, temos: 

       A = V + T + Q – 2 

       A = V + (A – 5) + (A – 10) – 2

      11 = V + 11 – 5 + 11 – 10 -2 

      0 = V – 6 

      V = 6 

O número de vértices do poliedro é 6!!

Espero ter ajudado!