Question

Encontre o termo de x6 no desenvolvimento de (x+1/x)^10

Answer 1

x⁶ =x^(10-n)  * (1/x)^n

x⁶ =x^(10-n)  * x^(-n)

x⁶ =x^(10-n -n)

6=10-2n

-4=-2n

n=2

C10,2 * x^(10-n) * (1/x)²  =  45*x⁶

Tk+1 =Cn,k *a^(n-k) * (b)^k              ..........termos  de (a+b)^n

T₂₊₁=T₃  é o terceiro termo = 45x⁶

Answer 2

Com o desenvolvimento do binômio de Newton, temos que o termo x^6 é 45.

Teorema bionomial de Newton

Vamos demonstrar o teorema. Uma prova alternativa do teorema binomial usando indução matemática. Precisamos usar a identidade de Pascal na forma:

$\dbinom{n}{r-1} + \dbinom{n}{r} = \dbinom{n+1}{r}, \qquad\text{for}\quad 0 < r \leq n.$

Pretendemos provar que:

$(a+b)^n = a^n + \dbinom{n}{1}a^{n-1}b +\dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\dbinom{n}{r}a^{n-r}b^r+\dots+ \dbinom{n}{n-1}ab^{n-1} + > \\\\ > b^n.$

Primeiro notamos que o resultado é verdadeiro para n=1 e n=2. Seja k um inteiro positivo com k≥2 para o qual a afirmação é verdadeira. Então

$(a+b)^k= a^k + \dbinom{k}{1}a^{k-1}b +\dbinom{k}{2}a^{k-2}b^2+\dots+\dbinom{k}{r}a^{k-r}b^r+\dots+ \dbinom{k}{k-1}ab^{k-1} + b^k.$

Agora consideremos a expansão:

$\left(a+b\right)^{k+1}=\:\left(a+b\right)\left(a+b\right)^k=\:\left(a+b\right)\left(a^k+\begin{pmatrix}k\\ 1\end{pmatrix}a^{k-1}b+....+\begin{pmatrix}k\\ k-1\end{pmatrix}ab^{k-1}+b^k\right)=$

$=a^{k+1}+\left[1+\begin{pmatrix}k\\ 1\end{pmatrix}\right]a^kb+\left[\begin{pmatrix}k\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\ 2\end{pmatrix}\right]a^{k-1}b^2+....$

$.....+\left[\begin{pmatrix}k\\ k-1\end{pmatrix}+1\right]ab^k+b^{k+1}$

Da identidade de Pascal segue que

$(a+b)^{k+1} = a^{k+1} + \dbinom{k+1}{1}a^{k}b + \dots+\dbinom{k+1}{r}a^{k-r+1}b^r+\dots+ \dbinom{k+1}{k}ab^{k}+ b^{k+1}.$

Portanto, o resultado é verdadeiro para k+1. Por indução, o resultado é verdadeiro para todos os números inteiros n. Agora podemos resolver o exercício.

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{10}$

$\mathrm{Aplicar\:o\:teorema\:do\:binomio}:\quad \left(a+b\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\left(n-i\right)}b^i$

$a=x,\:\:b=\frac{1}{x}$

$=\sum _{i=0}^{10}\binom{10}{i}x^{\left(10-i\right)}\left(\dfrac{1}{x}\right)^i$

$=x^{10}+10x^8+45x^6+120x^4+210x^2+252+\dfrac{210}{x^2}+\dfrac{120}{x^4}+\dfrac{45}{x^6}+\dfrac{10}{x^8}+\dfrac{1}{x^{10}}$

Saiba mais sobre binômio de Newton:https://brainly.com.br/tarefa/3975125

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