Question

Encontre o ponto da parábola y=x^2 mais próximo do ponto P=(16,1/2).

Answer 1

Boa tarde!

Podemos procurar a equação da reta perpendicular à parábola que passe pelo ponto P. Assim, a intersecão será o ponto mais próximo do ponto dado.
Então:
$f(x)=x^2\\f'(x)=2x$

Sendo m o coeficiente da reta tangente à curva, m' será:
$m.m'=-1\\m'=\dfrac{-1}{m}\\m'=\dfrac{-1}{2x}$

Bom, temos dois pontos ponto conhecidos da reta P(16,1/2) e Q(x, x^2) (ponto da parábola). Substituindo:
$y-y_0=m'(x-x0)\\y-1/2=\dfrac{-1}{2x}(x-16)\\x^2-1/2=-1/2+8/x\\x^2=8/x\\x^3=8\\x=\sqrt[3]{8}\\x=2$

Então, o ponto da parábola x=2 e y=x^2=4 (2,4) é o ponto mais próximo do ponto (16,1/2)

Espero ter ajudado!