Question

Na equação x^5-2x^4+x^3+x^2-2x+1=0, o número 1 é raiz

Answer 1

Se $1$ é raiz de $x^5-2x^4+x^3+x^2-2x+1=0$, então esse polinômio é divisível por $x-1$

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

$1~~~|~~~1~~~~~~-2~~~~~~1~~~~~~1~~~~~~-2~~~|~~~1\\''~~~|~~~1~~~~~~-1~~~~~~0~~~~~~1~~~~~~-1~~~|~~~0$

Observe que o resto dessa divisão é zero. Assim, $1$ é raiz simples, pelo menos.

$q_{1}(x)=x^4-x^3+x-1$

Dividindo $q_{1}(x)$ por $x-1$:

$1~~~|~~~1~~~~~~-1~~~~~~0~~~~~~1~~~|~~-1\\''~~~|~~~1~~~~~~~~~0~~~~~~~0~~~~~~1~~~|~~~0$

Note que o resto dessa divisão é zero. Com isso, podemos afirmar que $1$ é raiz dupla, no mínimo.

$q_{2}(x)=x^3+1$

Dividindo $q_{2}(x)$ por $x-1$:

$1~~~|~~~1~~~~~~0~~~~~~0~~~|~~~1\\''~~~|~~~1~~~~~~1~~~~~~1~~~|~~~2$

Veja que o resto dessa divisão não é zero, logo $1$ não é raiz tripla.

Desse modo, $x^5-2x^4+x^3+x^2-2x+1=(x-1)^2\cdot(x^3+1)$, ou seja, o número $1$ é raiz dupla.