Question

calculando o resultado será:
$\frac{n! \: (n +2) !}{(n - 1)! \: n!}$

Answer 1

Basta desenvolver os fatoriais ... 

[n!.(n+2)!]/[(n-1)!.n!]                    desenvolvendo ... 

[n.(n-1)!.(n+2).(n+1).n!]/[(n-1)!.n!]               elimino todos n! e (n-1)!  

n.(n+2).(n+1)

n.(n² + n + 2n + 2) 

n.(n² + 3n + 2) = n³ + 3n² + 2n                                               ok 

Answer 2

Olá.

Temos a divisão de fatoriais:

$\mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+2)!}{(n-1)!\cdot n!}}$

Para resolver essa questão, temos de fatorar o (n + 1)! usando o conceito de fatorial. O fatorial de um número, basicamente, é o produto de um número e todos os seus antecessores até chegar em 1. Pra resolver, devemos fazer a fatoração desse jeito. 

$\mathsf{(n+2)!=(n+2)\cdot(n+1)\cdot(n)\cdot(n-1)!}$

Substituindo, teremos:

$\mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+2)!}{(n-1)!\cdot n!}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+2)(n+1)\cdot(n)\cdot(n-1)!!}{(n-1)!n!}}$

Como temos valores iguais multiplicando no numerador e no denominador, podemos cortá-los. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+2)!}{(n-1)!\cdot n!}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)\cdot(n)\cdot(n-1)!!}{(n-1)!n!}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)\cdot(n)\cdot\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(n-1)!!}{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(n-1)!\cdot\diagup\!\!\!\!n!}=}\\\\\\ \mathsf{(n+2)\cdot(n+1)\cdot(n)=}\\\\ \mathsf{(n^2+n+2n+2)\cdot(n)=}\\\\ \mathsf{(n^2+3n+2)\cdot(n)=}\\\\ \boxed{\mathsf{n^3+3n^2+2n}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.