Question

O Método de Ruchardt pode ser empregado para determinar o coeficiente de Poisson γ =(cP/cV), isto é, a relação entre os coeficientes de calor específico com pressão e com volume constante, envolvendo transformações adiabáticas. Utilizando um balão de vidro com ar em seu interior, ajusta-se uma bolinha metálica de raio a e massa m, que veda a boca do balão. Na posição x = 0 a bolinha encontra-se em equilíbrio e o balão de vidro tem um volume Vo . Ao ser deslocada na vertical de sua
posição de equilíbrio a bolinha move-se, executando oscilações em um movimento harmônico simples.

Considerando o atrito desprezível, mostre que o período de oscilação em função das variáveis do problema é dado por:
$T = \frac{2}{a^{2}} \sqrt{ \frac{mV_{o}}{\gamma P} }$

Answer 1

Olá, tudo bem?

Essa questão é bem interessante por juntar dois assuntos da física e ainda a necessidade de usar Binômio de Newton.

Inicialmente a pressão do gás esta em equiíbrio.

Ou seja,

PA = MG

Onde,

PA = é a pressão que o gás exerce na bolinha multiplicado pela área.

e MG = a força peso da bolinha.

Como a bolinha vai descer "x", se ela desce, comprime o gás, então a pressão do gás aumenta, fazemos (P+DeltaP)A.

Fr= PA + DeltaPA - MG

Então o deslocamento será:
Fr=DeltaPA = Kx

Como esse processo é bem rápido, a troca de calor é desprezível, logo consideramos o sistema adiabático.
Aqui chamarei Poisson de "y"
(PVo)ˆy = (P + DeltaP)(Vo - DeltaV)

P/P+DeltaP =(Vo - DeltaV/Vo)ˆy

((P + DeltaP)/P)ˆ-1 = ((1 - DeltaV)/Vo)ŷ

Usando Binômio de Newton, que é uma aproximação de (1 + x)ˆn = 1 + Nx
Onde o módulo de x é bem menor que 1.

1 - DeltaP/P = 1 - yDeltaV/Vo

DeltaP = PyDeltaV/Vo

Fr = DeltaPA = PyDeltaVA/Vo

Fr = Py(XA)A/Vo = Py(A)ˆ2 x/Vo

T = 2pi(m/k)ˆ1/2 = 2pi(MVo/Py(A)ˆ2)ˆ1/2

T = (2pi/A)(MVo/Py)ˆ1/2

No problema ele fala que a área é piR

Então,

T= (2/r)(MVo/Py)ˆ1/2

Repondido?