Question

seja um número X, inteiro e variando de 1 a 9.
I) multiplique esse número por 3
II) some 3 ao resultado
III) multiplique tudo por 3 e chame esse resultado de P.
PROVE QUE A SOMA DOS ALGARISMOS DE P SEMPRE VALE 9

Answer 1

Note que:
$P = 3(3X + 3) = 9X + 9 = 9(X + 1)$

Como $X$ é inteiro entre 1 e 9, $X + 1$ varia entre 2 e 10, pelo que $P \in \{18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90\}$, cuja soma dos algarismos é sempre 9.

Podemos provar de forma mais teórica que assim é. Por um lado, P é sempre um número de 2 algarismos, pois um número inteiro X + 1 entre 2 e 10 multiplicado por 9 origina sempre um número desse tipo. Por outro, sabemos que P é múltiplo de 9 e um critério de divisibilidade por 9 é que a soma dos algarismos seja múltiplo de 9. Como apenas dispomos de 2 algarismos, só ocorre que a soma seja múltipla de 9 se for 9 ou 18, sendo que a única forma de obter 18 é com o n.º 99. No entanto, como X + 1 é no máximo 10, é impossível que isso suceda. Então, a soma é certamente 9.