Question

sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos: r1:{x=3mt-3 y=1+3t z=-4t e r2:{x=2y-1 z=-y+4

Answer 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas da reta r1. Esta equação nos permite identificar qual é o ponto por onde passa a reta e qual seu vetor diretor. A equação paramétrica é da forma:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct

Temos que esta reta passa pelo ponto (x-, y0, z0) e tem vetor diretor (a, b, c), esta equação também pode ser escrita como:
r: (x0, y0, z0) + t(a, b, c)

De acordo com o enunciado:
r1: (-3, 1, 0) + t(3m, 3, -4)
O vetor u é (3m, 3, -4)

Em r2, temos:
x = 2y - 1
z = -y + 4 >>>> y = 4 - z

x = 2(4-z) - 1
x + 0y + 2z -7 = 0
O vetor v é (1, 0, 2)

Como são ortogonais, o produto interno é 0:
uv = 0
(3m, 3, -4) (1, 0, 2) = 3m + 0 - 4 = 0
3m = 4
m = 4/3