Question

Uma sequência numérica tem a seguinte lei de formação: o primeiro termo é 5; cada termo é a diferença entre o triplo do anterior e duas unidades. Calcula a diferença entre o 7 e o 4 termos da sequência.

Answer 1

De acordo com o enunciado, podemos escrever a seguinte lei recursiva para a sequência:

     $a_n=\left\{\! \begin{array}{ll}5,&\quad\textsf{se~~}n=1\\3a_{n-1}-2,&\quad\textsf{se~~}n>1 \end{array} \right.\qquad n\in\mathbb{N}^*$


Desejamos saber o valor de  $a_7-a_4.$


Podemos simplesmente usar a lei dada para obter os termos iniciais da sequência:

     •  $a_1=5$


     •  $a_2=3a_1-2$

     $a_2=3\cdot 5-2\\\\ a_2=15-2\\\\ a_2=13$


     •  $a_3=3a_2-2$

     $a_3=3\cdot 13-2\\\\ a_3=39-2\\\\ a_3=37$


     •  $a_4=3a_3-2$

     $a_4=3\cdot 37-2\\\\ a_4=111-2\\\\ a_4=109$


     •  $a_5=3a_4-2$

     $a_5=3\cdot 109-2\\\\ a_5=327-2\\\\ a_5=325$


     •  $a_6=3a_5-2$

     $a_6=3\cdot 325-2\\\\ a_6=975-2\\\\ a_6=973$


     •  $a_7=3a_6-2$

     $a_7=3\cdot 973-2\\\\ a_7=2919-2\\\\ a_7=2917$


Portanto,

     $a_7-a_4\\\\ =2917-109\\\\ =2808$


Observação:  Esse método só é viável se desejamos saber valores de termos iniciais da sequência. Se a ordem dos termos fosse muito grande, teríamos que usar outro artifício para contornar a recursividade, como por exemplo, encontrar uma lei de formação fechada para a sequência.


Bons estudos! :-)