Question

6) (UNIRIO) Um campo de atletismo está representado na figura abaixo.

ABCD é um retângulo de comprimento x e largura 2r, tendo apoiado em cada um dos lados AD e BC um semicírculo de raio r.
Em todo o contorno do campo, há uma pista para corrida com 400 metros de extensão.
a) Expresse a área da parte retangular do campo em
função de r.
b) Quais os valores de x e de r que dão à parte retangular
a maior área possível?

Answer 1

Vamos lá!

O perímetro e a área desse campo podem ser expressos, respectivamente, pelas seguintes equações:

2x + 2πr = 400
A = 2r . x

Como o exercício nos solicita que a área seja expressa em função de r, vamos substituir a x na fórmula anterior:

2x + 2πr = 400
2x = 400 - 2πr
x = $\frac{400}{2}$ - $\frac{-2r}{2}$π
x = 200 - πr


A = 2r . x
A = 2r . (200 - πr)
A = -2πr² + 400r
A = -6,28r² + 400r


$x_{v}$ = $\frac{-b}{2a}$
$x_{v}$ = $\frac{-400}{2(-6,28)}$
$x_{v}$ = $\frac{-400}{-12,56}$
$x_{v}$ ≈ 31,85


A = -6,28(31,85)² + 400(31,85)
A = -6,28(1014,42) + 12740
A = -6370,55 + 12740
A = 6369,45m²


A = 2r . x
6369,45 = 2(31,85) . x
x . 63,7 = 6369,45
x = $\frac{6369,45}{63,7}$
x ≈ 100

Portanto:

a) A(r) = -6,28r² + 400r
b) x = 100 e r = 31,85